在旋轉面板中按 r 或 s，圖形就會動。r 轉過一個頂點，r' 反向轉，s 把圖形翻過來。在序列面板中選一個序列，它會從編號排好的狀態開始反覆執行，並數出回到原狀為止的輪數。在顯示面板中可以把邊數從三角形改到十二邊形。
把正多邊形重合到自身的動作全體構成數學上的群，叫作二面體群。做一個動作再做一個，結果仍是這樣的動作；有一個什麼也不做的手；每個手都有把它還原的手；三個手連著做時，先讀哪一對都一樣。這就是群的定義的全部，而在這裡，它的每一行都是可以按下去的東西。
兩個手就夠了。轉過一個頂點是 r，繞著過頂點 0 的軸翻過來是 s，這兩個就是生成元。反向轉不是第三個手：r' 就是把 r 轉 n 減一次。n 邊形有 n 個旋轉和 n 個翻轉，所以群有 2n 個元素，而面板會照著當前的圖形把這個數直接數出來。
選一個序列反覆執行，編號一定會回到出發時的位置。回到原狀為止的輪數就是這個元素的階。只是旋轉的話要轉邊數那麼多輪，所以六邊形 6 輪回來，七邊形 7 輪回來，而任何一個翻轉都是 2 輪。這不是多邊形的奇特之處：只要元素有限，反覆做同一個手總會回到出發點。
先旋轉再翻轉，與先翻轉再旋轉，是不同的手。兩者都把圖形重合到自身，都在兩輪後回到原狀，可是它們把頂點 1 送到了不同的位置。追著編號看就能看見。這正是群不可交換的意思，也是手的順序必須寫下來、不能隨意調換的理由。夾一個翻轉，旋轉就會反向：s r s 是 r' 而不是 r。
換位子是這樣排出來的：一個手，另一個手，第一個手的逆，第二個手的逆。如果兩個手互不干擾，這四個就會互相抵消，什麼也不會發生。這裡寫作 r s r' s，因為翻轉再翻一次就回來了，逆手不需要另外的記號。剩下的是一個旋轉，也就是轉兩次 r，這正是兩個手交換起來的差距。在三角形上，這個旋轉是三分之一週，轉三輪編號就回家了。
只把旋轉取出來，就得到群裡面的群。這叫子群，而且是循環群：把一個手重複 n 次而已。另一半是翻轉，每一個都是自己的逆。同樣的這兩半，也以同樣的形式出現在密鋪圖案與晶體的對稱裡，而魔術方塊的群，不過是把同一個想法放到更大的群上去走一遍。