Eine Diagonalmatrix trägt Zahlen nur auf der Diagonale, überall sonst steht 0. Wendet man sie auf einen Vektor (x, y) der Ebene an, kommt (λ₁x, λ₂y) heraus. Das x wird allein mit λ₁ multipliziert, das y allein mit λ₂, und die beiden vermischen sich nie. Deshalb wird das Gitter in der Animation oben nur entlang der Achsen gedehnt und kippt oder dreht sich nicht.
Weil sich nichts vermischt, übersteht die Form auch die Wiederholung. D n-mal angewandt ergibt Dⁿ, und das ist nichts weiter als λ₁ⁿ und λ₂ⁿ auf der Diagonale. Man muss die Zwischenschritte gar nicht ablaufen: Nach n Anwendungen steht der Vektor bei (λ₁ⁿx, λ₂ⁿy), in einem Zug hingeschrieben. Eine gewöhnliche Matrix zu potenzieren ist mühsam, bei einer Diagonalmatrix wird aus dem Multiplizieren ein Addieren von Exponenten.
Damit hängt das Langzeitverhalten nur noch an den Faktoren. Eine Richtung mit Betrag größer als 1 wächst unbegrenzt, eine mit Betrag kleiner als 1 wird gegen null gezogen, und bei genau 1 bewegt sich nichts. Ein negativer Faktor kippt die Richtung bei jedem Schritt, ein Faktor 0 drückt die Ebene in einem einzigen Schritt auf eine Gerade, ohne Rückweg. Dort ist die Determinante 0, es gibt also keine Inverse. Alle fünf Fälle stehen als Beispiel bereit.