Das Gauß-Jordan-Verfahren löst ein Gleichungssystem rein mechanisch. Man schreibt die Koeffizienten und die rechten Seiten in eine einzige Tabelle, die erweiterte Matrix, und wiederholt dann nur drei Umformungen: zwei Zeilen tauschen, eine Zeile durch eine Zahl teilen, und von einer Zeile ein Vielfaches einer anderen abziehen. Die Animation oben führt genau diese Züge mit den eingegebenen Zahlen aus.
Das Ziel ist die Einheitsmatrix in der linken Hälfte: Die erste Zeile enthält dann nur noch x, die zweite nur noch y, und rechts steht die Antwort. Der Weg dorthin ist immer derselbe. Man macht den Koeffizienten von x zu 1 und räumt x aus der anderen Zeile heraus, danach dasselbe mit y. Keine Eingebung, nur Reihenfolge.
Getauscht wird, wenn dort, wo gerade eine 1 entstehen soll, eine 0 steht. Durch 0 lässt sich nicht teilen, also holt man die Zeile darunter nach oben. Wird die linke Hälfte trotz aller Umformungen nicht zur Einheitsmatrix, ist die Lösung nicht eindeutig. Entsteht ein widersprüchliches 0 = 3, gibt es keine Lösung; fällt eine Gleichung zu 0 = 0 zusammen, gibt es unendlich viele. Beide Fälle stehen als Beispiel bereit.