Un álgebra A sobre un cuerpo k es finitamente generada cuando hay finitos elementos a_1, \ldots, a_n \in A tales que todo elemento de A es un polinomio en ellos, y se escribe A = k[a_1, \ldots, a_n]. Los a_i son los generadores, y solo se permiten la suma, la resta y el producto: no hay división.
La definición también se puede leer como una sobreyección. Al enviar x_i \mapsto a_i se obtiene una sobreyección k[x_1, \ldots, x_n] \twoheadrightarrow A desde el anillo de polinomios en n variables, y con núcleo I queda A \cong k[x_1, \ldots, x_n]/I. Toda k-álgebra finitamente generada tiene esta forma.
Los generadores no son únicos, y ni siquiera su número está fijado. En la figura, cada monomio de grado total hasta d es un producto de los dos generadores x e y, y a medida que d crece los monomios llenan todo el plano de exponentes.
Ser finitamente generada como k-álgebra y ser finita como k-módulo son condiciones distintas. El anillo k[x] está generado por el único elemento x, pero como espacio vectorial sobre k tiene dimensión infinita, porque 1, x, x^2, \ldots son linealmente independientes.
Finita es la condición más fuerte: una k-álgebra de dimensión finita sobre k es desde luego finitamente generada. El recíproco falla, y k[x] es el contraejemplo, mientras que k[x]/(x^2 - 1) cumple las dos, pues tiene dimensión dos sobre k y está generada por x.
La figura anida las tres clases: todas las k-álgebras por fuera, las finitamente generadas en medio y las de dimensión finita dentro, cada una con ejemplos que pertenecen solo a esa capa. La geometría algebraica usa la capa del medio como anillos de coordenadas, y la capa exterior aparece al margen, como completados y cuerpos de funciones.
El anillo de polinomios k[x_1, \ldots, x_n] es la definición misma, con las n variables como generadores. El anillo de coordenadas de la parábola, k[x, y]/(y - x^2) \cong k[t], se puede generar con dos elementos, pero basta con t.
El anillo de coordenadas de la hipérbola es k[x, y]/(xy - 1) \cong k[t, t^{-1}]. Aquí t solo no basta, porque con él no se puede formar t^{-1}: los generadores son t y t^{-1}. Del mismo modo, la localización en un elemento es k[x]_f = k[x, 1/f], generada por x y 1/f.
Estos dos últimos permiten exactamente un denominador. Añadir ese denominador como un generador nuevo mantiene todo dentro del mundo de los polinomios. Cuando se permiten denominadores sin restricción, el recurso deja de funcionar.
El cuerpo de funciones racionales k(x) no es finitamente generado como k-álgebra [1]. Supongamos que k(x) = k[f_1/g_1, \ldots, f_n/g_n] y pongamos g = g_1 \cdots g_n. Todo polinomio en los generadores tiene como denominador una potencia de g, así que todo elemento de k(x) tendría la forma h/g^m.
El anillo k[x] tiene infinitos polinomios irreducibles, así que podemos elegir uno, p, que no divida a g. Si 1/p = h/g^m, entonces g^m = ph. Como p es irreducible es primo, y al dividir a g^m tiene que dividir a g, lo que es una contradicción.
El argumento funciona aunque k sea finito, porque solo usa que k[x] tiene infinitos polinomios irreducibles. En la figura, los primeros puntos son los factores irreducibles de g y se pueden usar como denominadores; todos los demás, que siguen sin fin, no.
Un subanillo de un álgebra finitamente generada no tiene por qué ser finitamente generado [1]. En k[x, y] reunimos los polinomios constantes a lo largo del eje y, aquellos con f(0, y) independiente de y. Forman un anillo A = k[x, xy, xy^2, xy^3, \ldots].
Supongamos que bastaran finitos generadores, y sea N una cota de los grados en y de sus partes de grado 1 en x. Al multiplicar generadores sube el grado en x, así que la parte de grado 1 en x de cualquier producto es una combinación de esas partes, y su grado en y sigue siendo como mucho N. Entonces xy^{N+1} está en A pero no se puede obtener.
Contar da otro ejemplo. Sobre k = \mathbb{Q}, un álgebra finitamente generada es cociente de un anillo de polinomios y por tanto numerable, mientras que \mathbb{Q}[[t]] corresponde a todas las sucesiones de coeficientes y no es numerable. El anillo de series formales k[[t]] no es, por tanto, finitamente generado.
Sean A = k[a_1, \ldots, a_n] e I un ideal. Entonces A/I está generado por las imágenes \bar{a}_1, \ldots, \bar{a}_n, así que es finitamente generado. La localización A_f en un elemento f es k[a_1, \ldots, a_n, 1/f]: un generador más.
Localizar en un ideal primo es distinto. A_{\mathfrak{p}} admite como denominador cualquier elemento fuera de \mathfrak{p}, y en general no es finitamente generado. En k[x]_{(x)} puede aparecer en un denominador cualquier x - a con a \neq 0, y el argumento del cuerpo de funciones racionales vuelve a funcionar.
En las extensiones de cuerpos las palabras se usan en otro sentido. K/k es finitamente generada como extensión de cuerpos cuando K = k(\alpha_1, \ldots, \alpha_n), con fracciones permitidas. Así, k(x) es finitamente generado como cuerpo, solo por x, pero no como k-álgebra: la diferencia está en los paréntesis, k[\ldots] frente a k(\ldots).
Por el teorema de la base de Hilbert, si k es noetheriano también lo es k[x_1, \ldots, x_n], y los cocientes de anillos noetherianos son noetherianos. Así, toda k-álgebra finitamente generada es noetheriana: todo ideal está generado por finitos elementos, y toda figura se describe con finitas ecuaciones.
Además solo hay finitos primos minimales, de modo que una figura tiene finitas componentes irreducibles. El recíproco falla: k[[t]] es noetheriano pero no finitamente generado.
La dimensión de Krull también es finita, por la normalización de Noether [3]: existen y_1, \ldots, y_d \in A algebraicamente independientes con A finita sobre k[y_1, \ldots, y_d], y ese d es exactamente \dim A. Para un dominio coincide con el grado de trascendencia del cuerpo de fracciones [1], y \dim A/\mathfrak{p} + \operatorname{ht} \mathfrak{p} = \dim A vale para todo primo \mathfrak{p} [4].
Si un cuerpo K es finitamente generado como álgebra sobre un cuerpo k, entonces K es una extensión finita de k [2]. Es el lema de Zariski, y no necesita ninguna hipótesis sobre k. El fallo de k(x) es un caso particular: k(x) no es finito sobre k, así que no puede ser finitamente generado.
Para k no numerable basta contar dimensiones [1]. Un L = k[e_1, \ldots, e_n] finitamente generado está generado como espacio vectorial por los monomios en los generadores, que son numerables, así que L tiene dimensión numerable sobre k. El cuerpo k(T) tiene dimensión no numerable, porque las funciones \dfrac{1}{T - \lambda} con \lambda \in k son linealmente independientes.
Si el cuerpo L contuviera un elemento t trascendente sobre k, entonces T \mapsto t sumergiría k(T) en L y L tendría dimensión no numerable. Así que todo elemento de L es algebraico sobre k, y un anillo generado por finitos elementos algebraicos es finito sobre k. Sobre \mathbb{C} esto basta; los cuerpos generales necesitan otro camino [2].
Sean A finitamente generada sobre k y \mathfrak{m} un ideal maximal. Entonces A/\mathfrak{m} es un cuerpo finitamente generado sobre k, y por el lema de Zariski es una extensión finita de k. Cuando k es algebraicamente cerrado, la única extensión finita es el propio k, así que A/\mathfrak{m} = k.
Para A = k[x_1, \ldots, x_n], la imagen de cada x_i es algún a_i \in k, así que cada x_i - a_i está en \mathfrak{m} y (x_1 - a_1, \ldots, x_n - a_n) \subseteq \mathfrak{m}. El lado izquierdo ya es maximal, así que son iguales [2]. Por eso los ideales maximales se pueden llamar puntos.
Sin la clausura algebraica esto se rompe. En \mathbb{R}[x] el ideal (x^2 + 1) es maximal, pero su cuerpo residual es \mathbb{C} y no corresponde a ningún punto real [2]: la gráfica de x^2 + 1 nunca toca el eje.
El número de generadores depende del anillo. k[t] necesita uno; k[t^2, t^3] necesita dos, porque t^2 solo no forma t^3 ni t^3 solo forma t^2; k[t, t^{-1}] necesita dos; k[x_1, \ldots, x_n] necesita n; y para k(x) no basta ningún número finito.
El anillo k[t^2, t^3] es el subanillo de k[t] sin t, el anillo de coordenadas de la cúspide. El menor número de generadores es la dimensión del menor espacio afín que contiene la figura: la cúspide cabe en el plano pero no en una recta.
Es el camino de ida y vuelta entre anillos y figuras. Un dominio finitamente generado sobre k es cociente de un anillo de polinomios, y los ceros de su ideal dan una figura; recíprocamente, el anillo de coordenadas de una variedad afín irreducible es un dominio finitamente generado. Los anillos que no son finitamente generados no tienen detrás ninguna figura clásica.