En un punto singular, el ideal maximal del anillo local es demasiado grande. Una curva tiene dimensión 1 y, sin embargo, en un punto singular su ideal maximal necesita dos generadores. Esa diferencia entre el número de generadores y la dimensión es lo que significa algebraicamente ser singular.
A continuación escribimos los anillos locales de dos puntos singulares, el nodo y^2 = x^2(x+1) y la cúspide y^2 = x^3. Calculamos sus clausuras enteras, comparamos sus completaciones y vemos dónde se separan.
Primero, el patrón de comparación. Un anillo local noetheriano (R, \mathfrak{m}) es regular cuando se cumple lo siguiente [1].
\dim R = \dim_{R/\mathfrak{m}} \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2
El lado derecho es el número mínimo de generadores del ideal maximal, llamado dimensión de inmersión: por el lema de Nakayama, al levantar una base de \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 se obtienen generadores de \mathfrak{m}. El lado izquierdo es la dimensión de Krull, que vale 1 en un punto de una curva y 2 en un punto de una superficie.
En un punto liso ambos lados coinciden. En un punto liso de una curva, el anillo local es un anillo local regular de dimensión 1, es decir, un anillo de valoración discreta.
La diferencia solo puede ir en un sentido. Siempre se cumple la siguiente desigualdad.
\dim R \leq \dim_{R/\mathfrak{m}} \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2
Se deduce del teorema de los ideales principales de Krull: si \mathfrak{m} está generado por n elementos, su altura es a lo sumo n. Así, en un punto singular la dimensión de inmersión es estrictamente mayor y hace falta un generador de más.
Geométricamente, el espacio tangente es más grande que la variedad. En el nodo, las dos rectas tangentes y = x e y = -x generan todo el plano, de modo que sobre una curva de dimensión uno hay un espacio tangente de dimensión dos. En un punto liso hay una sola recta tangente, y el espacio tangente tiene dimensión uno, como la curva.
Tomemos el origen de la curva y^2 = x^2(x+1). Su anillo de coordenadas y su anillo local son A = k[x, y]/(y^2 - x^2 - x^3) y \mathcal{O} = A_{\mathfrak{m}} con \mathfrak{m} = (x, y). La curva es irreducible, así que A es un dominio de dimensión uno, y al localizar la dimensión no baja.
Aquí \mathfrak{m}^2 = (x^2, xy, y^2). Los dos lados de y^2 = x^2 + x^3 están en \mathfrak{m}^2 y no aparece ningún término de grado 1, así que la ecuación no da ninguna relación lineal entre x e y.
\dim_k \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 = 2
La dimensión es 1 y la dimensión de inmersión es 2, así que el anillo local no es regular. En particular, \mathfrak{m} no es principal: si \mathfrak{m} = (f), la imagen de f generaría \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2, cuya dimensión sería entonces a lo sumo 1. Es un dominio local de dimensión uno que no es un anillo de valoración discreta.
El mismo cálculo sirve para la cúspide y^2 = x^3, con anillo local k[x, y]_{(x, y)}/(y^2 - x^3). Los dos lados de la ecuación están en \mathfrak{m}^2, porque y^2 tiene grado 2 y x^3 grado 3. En la figura se amplía paso a paso el entorno del origen, y la cúspide se aplana sobre la semirrecta y = 0, x \geq 0: solo queda el término y^2 de menor grado.
De nuevo no aparece ninguna relación lineal, así que la dimensión de inmersión es 2 mientras que la dimensión es 1, y el anillo local no es regular.
Este cálculo no distingue el nodo de la cúspide: ambos tienen dimensión 1 y dimensión de inmersión 2. Hacen falta otras magnitudes para separarlos.
Reescribamos el anillo de coordenadas de la cúspide con un parámetro. Tomando x = t^2 e y = t^3 se obtiene y^2 = t^6 = x^3, y esta correspondencia es un isomorfismo.
k[x, y]/(y^2 - x^3) \cong k[t^2, t^3] \subset k[t]
El lado derecho está formado por los polinomios en t sin término de grado 1, y las potencias 1, t^2, t^3, t^4, \ldots forman una base. Solo falta t, y ese hueco de dimensión uno es la singularidad de la cúspide.
El cuerpo de fracciones de k[t^2, t^3] es k(t), porque t = t^3/t^2. El elemento t no está en k[t^2, t^3], pero es entero sobre él: como t^2 \in k[t^2, t^3], cumple la ecuación mónica T^2 - t^2 = 0.
Así, el cuerpo de fracciones contiene un elemento entero que no está en el anillo, y k[t^2, t^3] no es íntegramente cerrado.
Aquí se encuentran las dos nociones. Un dominio local noetheriano de dimensión uno es íntegramente cerrado exactamente cuando es un anillo de valoración discreta [5]. Por eso, para los puntos de una curva sobre un cuerpo algebraicamente cerrado, ser liso, ser regular y ser íntegramente cerrado son lo mismo, y un punto singular es aquel cuyo anillo local no es íntegramente cerrado.
Un anillo que no es íntegramente cerrado se puede reparar tomando su clausura entera; geométricamente, esto es la normalización. Para la cúspide la clausura entera es k[t], un dominio de ideales principales y por tanto íntegramente cerrado, y es un módulo finitamente generado sobre k[t^2, t^3].
El nodo se trata del mismo modo. Tomando y = tx se obtiene t^2 = x + 1 y, de ahí, la siguiente parametrización.
x = t^2 - 1, \quad y = t^3 - t
El elemento t = y/x del cuerpo de fracciones cumple t^2 - x - 1 = 0, así que es entero, y la clausura entera vuelve a ser k[t]. Las dos curvas singulares se reparan en la misma recta lisa.
La diferencia aparece en cuántos puntos hay sobre el origen. Contemos los valores de t que la normalización envía al origen.
En el nodo, tanto t = 1 como t = -1 van al origen, así que sobre él hay dos puntos. En la cúspide, x = t^2 e y = t^3 solo se anulan en t = 0, así que sobre el origen hay un único punto.
El número de puntos se refleja en la forma local de la clausura entera. En el nodo, la clausura entera tiene dos ideales maximales sobre el origen y, al localizar y completar, se descompone en un producto de dos anillos de valoración discreta, uno por cada rama que pasa por el origen.
En la cúspide, la clausura entera tiene un único ideal maximal sobre el origen, y su completación sigue siendo un solo anillo de valoración discreta: hay una sola rama.
Para un anillo reducido de tipo finito sobre un cuerpo, como los anillos de coordenadas de aquí, la clausura entera es un módulo finito sobre el anillo original, así que la normalización es un morfismo finito [4]. La finitud hace que los puntos sobre el origen sean finitos y se puedan contar.
Los anillos locales son ambos dominios, porque las dos curvas son irreducibles, así que a este nivel todavía no se distinguen.
La completación los separa. Si la característica no es 2, entonces 1 + x tiene una raíz cuadrada u en k[[x]], y la ecuación del nodo se factoriza.
k[[x, y]]/(y^2 - x^2(1+x)) = k[[x, y]]/((y - xu)(y + xu))
Así, el anillo local completo del nodo no es un dominio. En la cúspide, y^2 - x^3 sigue siendo irreducible en k[[x, y]], y el anillo local completo sigue siendo un dominio. El número de ramas no se ve en el anillo local y se ve después de completar.
El número de ramas no basta por sí solo. Para comparar ambos con la misma escala, se mide la diferencia con la clausura entera. Con \mathcal{O} el anillo local en el punto singular y \widetilde{\mathcal{O}} su clausura entera, se define lo siguiente.
\delta = \dim_k \widetilde{\mathcal{O}}/\mathcal{O}
En la cúspide, \widetilde{\mathcal{O}} = k[[t]] y \mathcal{O} = k[[t^2, t^3]], y el cociente está generado por t, así que \delta = 1. El nodo también tiene \delta = 1: tipos distintos, el mismo peso. Una cúspide más alta, como y^2 = x^5, da k[[t^2, t^5]], al que le faltan t y t^3, así que \delta = 2.
Este \delta es exactamente lo que baja el género [3]. Para una curva plana de grado d, el género geométrico es el género aritmético (d-1)(d-2)/2 menos la suma de los \delta de los puntos singulares.
En la figura, el nodo y la cúspide recorren las seis magnitudes de arriba abajo; van juntos donde los valores coinciden y se separan donde difieren. La dimensión, la dimensión de inmersión y la clausura entera no distinguen el nodo de la cúspide. Los puntos sobre el origen y la completación los separan, mientras que \delta vuelve a coincidir.
Así, la misma palabra singular esconde información distinta según lo hondo que se mire: dimensión, dimensión de inmersión, clausura entera, completación.
En las curvas, ser singular y no ser íntegramente cerrado eran lo mismo. A partir de dimensión 2 ya no. Un anillo local regular siempre es íntegramente cerrado, pero el recíproco falla: hay puntos íntegramente cerrados que son singulares.
El origen del cono xy = z^2 es un ejemplo. Su anillo es íntegramente cerrado, pero la dimensión de inmersión es 3 y la dimensión es 2, así que no es regular.
La razón es que la normalización solo elimina las singularidades de codimensión 1, ya que una variedad normal es regular en codimensión 1 [2]. En una curva todo punto singular tiene codimensión 1, y por eso bastaba la normalización.
En dimensión mayor hacen falta, en cambio, explosiones repetidas. Sobre un cuerpo de característica 0 las singularidades siempre se pueden resolver: Heisuke Hironaka demostró en 1964 que para toda variedad algebraica V existe una W no singular con un morfismo birracional propio W \to V [2].
En característica positiva el problema está resuelto hasta dimensión 3 y sigue abierto en general a partir de dimensión 4. La resolución convierte los anillos locales en anillos locales regulares, y la normalización de una curva es su caso más sencillo. La figura muestra una explosión que separa las dos ramas del nodo.
Conviene señalar algunos errores frecuentes. Una curva sin autointersecciones no tiene por qué ser lisa, como muestra la cúspide. Un anillo local que es un dominio no tiene por qué ser regular: de nuevo la cúspide, incluso después de completar. Y la dimensión de inmersión nunca baja de la dimensión.
El número de ramas y \delta son magnitudes distintas. A partir de dimensión 2, ser íntegramente cerrado no implica ser liso, porque la normalización solo elimina las singularidades de codimensión 1.