Un anillo local regular es un anillo cuyo ideal maximal necesita exactamente los generadores imprescindibles. Se cuentan dos cosas: la dimensión de Krull, que es la longitud de las cadenas de ideales primos, y el menor número de generadores del ideal maximal. El anillo es regular cuando las dos coinciden [1].
Sea (R, \mathfrak{m}) un anillo local noetheriano con cuerpo residual k = R/\mathfrak{m}. Se dice que R es regular cuando \dim R = \dim_k \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2. El lado izquierdo es la dimensión de Krull y el derecho es la dimensión del espacio cotangente de Zariski, cuyo dual, el espacio tangente de Zariski, hace el papel del espacio tangente de la geometría.
El lado derecho también se llama dimensión de inmersión: el número de variables que hacen falta cuando se escribe el anillo con el menor número posible de variables. La figura empareja las dos cuentas para varios anillos. Solo pueden diferir en un sentido: siempre hay al menos tantos generadores como la dimensión, y la igualdad es el mejor caso.
El lado derecho es el menor número de generadores gracias al lema de Nakayama. Supongamos que las imágenes de x_1, \ldots, x_n \in \mathfrak{m} generan \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 sobre k, de modo que \mathfrak{m} = (x_1, \ldots, x_n) + \mathfrak{m}^2. Si ponemos M = \mathfrak{m}/(x_1, \ldots, x_n), se tiene \mathfrak{m} M = M.
Como M es finitamente generado, el lema de Nakayama da M = 0, así que x_1, \ldots, x_n generan \mathfrak{m}. Recíprocamente, unos generadores de \mathfrak{m} siempre generan \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2. Por tanto, el menor número de generadores es \dim_k \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2.
Aquí \mathfrak{m}^2 es el ideal de las sumas finitas de productos de dos elementos de \mathfrak{m}, no el conjunto de los cuadrados. Una pregunta sobre cómo generar un ideal se ha convertido en una pregunta de álgebra lineal, la dimensión de un espacio vectorial, y ese es el núcleo de la definición. En la figura, la igualdad \mathfrak{m} = (x_1, x_2) + \mathfrak{m}^2 da \mathfrak{m} = (x_1, x_2) + \mathfrak{m}^3 y después (x_1, x_2) + \mathfrak{m}^4, porque \mathfrak{m}^2 = \mathfrak{m} \cdot \mathfrak{m}: la parte cubierta por x_1 y x_2 crece capa a capa, y el lema de Nakayama cierra de una vez lo que queda.
Que las cuentas solo puedan diferir en un sentido se debe a un único teorema. Por el teorema de la altura de Krull, un ideal primo minimal sobre un ideal generado por n elementos tiene altura como mucho n [2].
Si \mathfrak{m} está generado por n elementos, el propio \mathfrak{m} tiene altura como mucho n. En un anillo local \dim R = \operatorname{ht} \mathfrak{m}, así que \dim R \leq \dim_k \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2.
Ser regular significa que esta desigualdad es una igualdad: no sobra ni un solo generador. En la figura, el plano, una curva que pasa por el punto y el propio punto dan la cadena (0) \subsetneq \mathfrak{p}_1 \subsetneq \mathfrak{m} de longitud 2 en k[x, y]_{(x, y)}, y los dos generadores x e y son justo los necesarios.
En un cuerpo k se tiene \mathfrak{m} = (0). Una cadena de ideales primos tiene un solo término, así que \dim k = 0, y \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 = 0 hace que el lado derecho también sea 0: un cuerpo es un anillo local regular. Los cuerpos son los únicos anillos locales regulares de dimensión 0, porque \mathfrak{m} = \mathfrak{m}^2 da \mathfrak{m} = 0 por el lema de Nakayama.
Tomemos ahora un dominio local noetheriano que no sea un cuerpo y cuyo ideal maximal sea principal, \mathfrak{m} = (\pi). Basta un generador, así que la dimensión de inmersión es 1, y la dimensión también es 1, porque los únicos ideales primos son (0) \subsetneq (\pi).
Así, un anillo de valoración discreta es regular, y recíprocamente un anillo local regular de dimensión 1 tiene ideal maximal principal y es un anillo de valoración discreta [4]. Los ejemplos típicos son k[[t]], \mathbb{Z}_{(p)} y \mathbb{Z}_p [1]. En la figura, en \mathbb{Z}_{(3)} con \pi = 3, cada entero lleva una línea vertical tan alta como su valoración: un elemento de valoración v llega al nivel de (\pi^v) pero no al de (\pi^{v+1}).
Sea R = k[x_1, \ldots, x_n]_{(x_1, \ldots, x_n)}. El ideal maximal es (x_1, \ldots, x_n), con n generadores.
Una base de \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 la dan las imágenes de x_1, \ldots, x_n: todo monomio de grado 2 o más cae en \mathfrak{m}^2, y solo quedan los términos de grado 1. La dimensión también es n, porque la dimensión de Krull de un anillo de polinomios es igual a su número de variables [3].
Los dos lados valen n, así que el anillo es regular. Es la forma algebraica del hecho de que todo punto del espacio afín es liso. En la figura, los términos de grado 2 o más desaparecen módulo \mathfrak{m}^2, y solo quedan los dos coeficientes de x y de y.
El anillo k[[x_1, \ldots, x_n]] también es un anillo local regular de dimensión n, con el ideal maximal generado por las variables. La cuenta es la misma que para los polinomios, porque los términos de grado 2 o más siguen cayendo en \mathfrak{m}^2.
Este anillo es el modelo de todos los demás: un anillo local regular noetheriano y completo que contiene un cuerpo es isomorfo a un anillo de series formales sobre su cuerpo residual [1]. Así, para un anillo local noetheriano que contiene un cuerpo, ser regular significa que, tras completar, \hat{R} \cong k[[x_1, \ldots, x_n]]: no queda nada más que las variables.
La circunferencia x^2 + y^2 = 2y de la figura pasa por el origen con el término lineal -2y. En el completado, y se convierte en una serie de potencias en x, y = x^2/2 + x^4/8 + x^6/16 + \cdots, y los truncamientos siguen a la circunferencia cada vez más de cerca junto al origen: el anillo local completado es k[[x]].
La regularidad se puede ver en un dibujo. En la figura, un punto se detiene en varios lugares de la cúspide, unas líneas cortas a su alrededor muestran todas las direcciones y se resaltan las que mantienen la ecuación nula hasta el primer orden. En un punto liso solo se resaltan las dos de la recta tangente: el espacio tangente es una sola recta, de la misma dimensión 1 que la curva.
En la punta se resaltan todas las direcciones. El espacio tangente se extiende por todo el plano, demasiado grande para una curva de dimensión 1, y el punto no es regular. Cuando el punto llega a la punta, el espacio tangente salta de una recta a todo el plano.
El espacio cotangente \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 es el dual de este espacio tangente. Comparar las dos dimensiones de la definición es comparar los dos tamaños de la figura.
Que un punto sea regular depende de si la ecuación que lo define tiene un término de grado 1. Para t \neq 0, la ecuación y^2 = x^3 + t\, x tiene el término lineal tx, y con f = y^2 - x^3 - tx se obtiene f_x(0, 0) = -t \neq 0, así que el origen es liso.
Solo en el instante t = 0 desaparece el término lineal. Entonces ninguna relación liga x e y en \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2, y la dimensión de inmersión salta a 2.
Para t \neq 0 la ecuación da tx = y^2 - x^3 \in \mathfrak{m}^2, así que x se anula en \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 e y sola lo genera. El término de grado 1 es la única parte de una ecuación que sobrevive en \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2, y que una relación llegue hasta él decide la regularidad.
La cúspide k[x, y]_{(x, y)}/(y^2 - x^3) tiene dimensión 1. Su ecuación solo tiene términos de grado 2 o más, así que \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 está generado por las imágenes de x e y y tiene dimensión 2: la diferencia es 1. El nodo k[x, y]_{(x, y)}/(y^2 - x^2 - x^3) también tiene dimensión 1 y dimensión de inmersión 2, así que esta cuenta por sí sola no distingue uno de otro.
El vértice del cono, k[x, y, z]_{(x, y, z)}/(xy - z^2), tiene dimensión 2. La ecuación es cuadrática, así que \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 está generado por x, y y z y tiene dimensión 3, una diferencia de 1. Este anillo es un dominio íntegramente cerrado y, aun así, no es regular.
En k[x]/(x^2) el único ideal primo es (x), así que la dimensión es 0, pero \mathfrak{m} = (x) y \mathfrak{m}^2 = 0 dan dimensión de inmersión 1 [1]. Este anillo ni siquiera es un dominio, mientras que los anillos locales regulares siempre lo son. En la figura, la recta y = c corta a la parábola y = x^2 en dos puntos, y cuando c tiende a 0 se funden en un solo punto que conserva una dirección; su anillo es k[x]/(x^2). El tamaño de la diferencia tiene que ver con lo grave que es la singularidad, pero no decide su tipo: la cúspide y el nodo dan el mismo número.
Cuando R es regular de dimensión n, cualesquiera n elementos x_1, \ldots, x_n que generen \mathfrak{m} forman un sistema regular de parámetros. Son las coordenadas locales: un espacio de dimensión n descrito con n coordenadas, dicho en el lenguaje del álgebra.
Para encontrar uno, se elige una base de \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2, se levanta a generadores de \mathfrak{m} con el lema de Nakayama y se comprueba que su número es igual a la dimensión. Cuando R no es regular, ninguna elección de n elementos basta, y a eso se refiere la frase de que allí no se pueden tomar coordenadas.
El levantamiento solo está determinado salvo elementos de \mathfrak{m}^2, y esa libertad es un cambio de coordenadas. En la figura, la coordenada x se sustituye por x' = x + a y^2: las curvas x' = c se doblan, pero la que pasa por el origen sigue siendo tangente allí a la recta x = 0 de antes, porque x y x' tienen la misma imagen en \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2.
La regularidad tiene consecuencias fuertes, y la primera es que R es un dominio. Se forma el anillo graduado asociado \operatorname{gr}_{\mathfrak{m}}(R) = \bigoplus_{i \geq 0} \mathfrak{m}^i/\mathfrak{m}^{i+1}. Cuando R es regular de dimensión n, es isomorfo al anillo de polinomios en n variables sobre k, que es un dominio.
Tomemos a y b no nulos con a \in \mathfrak{m}^i \setminus \mathfrak{m}^{i+1} y b \in \mathfrak{m}^j \setminus \mathfrak{m}^{j+1}. Sus imágenes en el anillo graduado tienen producto no nulo, así que ab \notin \mathfrak{m}^{i+j+1}, y en particular ab \neq 0.
Los grados i y j existen gracias al teorema de intersección de Krull, \bigcap_n \mathfrak{m}^n = 0, y es aquí donde se usa la hipótesis noetheriana. En la figura, los tamaños de a = x + y^2, b = y^2 + x^3 y ab sobre una circunferencia pequeña de radio \varepsilon alrededor del origen se dibujan frente a \varepsilon en escalas logarítmicas: las pendientes son 1, 2 y 3, los grados de las partes más bajas x, y^2 y xy^2, y la pendiente de ab es la suma 1 + 2.
Vale un teorema aún más fuerte: todo anillo local regular es un dominio de factorización única [1]. Es el teorema de Auslander y Buchsbaum, que se demuestra con álgebra homológica, y la unicidad clásica de la factorización en primos sale de que coincidan dos dimensiones. El recíproco falla: hay dominios de factorización única que no son regulares.
La localización de un anillo local regular en un ideal primo vuelve a ser un anillo local regular [1]. Esto no se sigue de la definición ingenua: al localizar en un primo cambian tanto la dimensión como la dimensión de inmersión, y nada en la definición indica por qué deberían seguir siendo iguales.
La clave es la caracterización homológica de Serre: un anillo local noetheriano es regular exactamente cuando su dimensión global es finita [1]. La finitud de la dimensión global se conserva al localizar, y por tanto también la regularidad. En la figura, el punto es \mathfrak{m} y la curva que pasa por él es un primo \mathfrak{p}; el anillo local a lo largo de la curva es regular porque lo es el del punto.
Las reformulaciones vistas hasta ahora caben en cuatro líneas. La definición dice que la dimensión es igual a la dimensión de inmersión; el espacio tangente dice que \dim T_P = \dim R; la homología dice que \operatorname{gldim} R < \infty; el completado dice que \hat{R} \cong k[[x_1, \ldots, x_n]], cuando R contiene un cuerpo.
Las dos primeras dicen lo mismo en el lenguaje de la geometría y en el del álgebra. Las dos últimas traen otras herramientas y, a cambio, llevan conclusiones más fuertes, como la estabilidad por localización.
Sea cual sea la forma, lo que no hay que confundir es qué se cuenta: el lado izquierdo de la definición es la longitud de una cadena, y el derecho es la dimensión de un espacio vectorial.
La palabra geométrica liso y la palabra regular no siempre significan lo mismo, porque interviene el cuerpo de base. Sobre un cuerpo perfecto, un punto de un álgebra de tipo finito es liso exactamente cuando su anillo local es regular [5], y los cuerpos algebraicamente cerrados son perfectos, así que este es el caso habitual.
Sobre un cuerpo que no es perfecto la coincidencia se rompe: hay variedades regulares que no son lisas, con ejemplos en característica positiva. La regularidad es una propiedad del propio anillo, mientras que ser liso es relativo al cuerpo de base.
Ser liso se comprueba con derivadas, como en la figura: el gradiente de f = y^2 - x^2 - x^3 a lo largo del nodo solo se anula en el origen, el único punto donde el anillo local no es regular. Al trabajar en característica p sobre un cuerpo no perfecto, conviene mirar cuál de las dos palabras se está usando; sobre un cuerpo algebraicamente cerrado la diferencia nunca aparece.