Una matriz diagonal lleva números solo en la diagonal y ceros en todo lo demás. Al aplicarla a un vector (x, y) del plano, el resultado es (λ₁x, λ₂y). La x se multiplica solo por λ₁ y la y solo por λ₂, y las dos nunca se mezclan. Por eso la cuadrícula de la animación de arriba únicamente se estira a lo largo de los ejes, sin inclinarse ni girar.
Como nada se mezcla, la forma sobrevive a la repetición. Aplicar D n veces da Dⁿ, que no es más que λ₁ⁿ y λ₂ⁿ colocados en la diagonal. No hace falta recorrer los pasos intermedios: tras n aplicaciones el vector está en (λ₁ⁿx, λ₂ⁿy), escrito de una sola vez. Elevar una matriz cualquiera a una potencia cuesta trabajo; en una diagonal, multiplicar se convierte en sumar exponentes.
Así, el destino a largo plazo depende solo de los factores. Una dirección cuyo factor supera 1 en valor absoluto crece sin límite, la que queda por debajo de 1 es absorbida hacia cero, y con exactamente 1 no se mueve nada. Un factor negativo invierte la dirección en cada paso, y un factor 0 aplasta el plano sobre una recta en un solo paso, sin vuelta atrás. Allí el determinante es 0, así que no hay inversa. Los cinco casos están entre los ejemplos.