La eliminación de Gauss-Jordan resuelve un sistema por pura rutina. Se escriben los coeficientes y los términos independientes en una sola tabla, la matriz ampliada, y luego se repiten solo tres movimientos: intercambiar dos filas, dividir una fila entre un número y restar a una fila un múltiplo de otra. La animación de arriba ejecuta justamente esos movimientos con los números que escribas.
La meta es la matriz identidad en la mitad izquierda: la primera fila queda solo con x, la segunda solo con y, y la respuesta está a la derecha. El camino es siempre el mismo. Se hace que el coeficiente de x sea 1 y se elimina la x de la otra fila; después, lo mismo con y. No hace falta ingenio, solo orden.
Se intercambia cuando en el sitio que debe volverse 1 hay un 0: entre 0 no se puede dividir, así que se sube la fila de abajo. Si la mitad izquierda no llega a ser la identidad, la solución no es única. Un 0 = 3 contradictorio significa que no hay solución; una ecuación que se reduce a 0 = 0 significa que hay infinitas. Ambos casos están entre los ejemplos.