Une matrice diagonale ne porte des nombres que sur la diagonale, et des zéros partout ailleurs. Appliquée à un vecteur (x, y) du plan, elle donne (λ₁x, λ₂y). Le x n'est multiplié que par λ₁ et le y que par λ₂, et les deux ne se mélangent jamais. C'est pourquoi la grille de l'animation ci-dessus s'étire seulement le long des axes, sans jamais pencher ni tourner.
Comme rien ne se mélange, la forme résiste à la répétition. Appliquer D n fois donne Dⁿ, qui n'est rien d'autre que λ₁ⁿ et λ₂ⁿ posés sur la diagonale. Inutile de parcourir les étapes intermédiaires : après n applications, le vecteur se trouve en (λ₁ⁿx, λ₂ⁿy), écrit d'un seul trait. Élever une matrice ordinaire à une puissance demande du travail ; pour une diagonale, multiplier revient à additionner des exposants.
Le sort à long terme ne dépend donc que des facteurs. Une direction dont le facteur dépasse 1 en valeur absolue croît sans fin, celle qui reste en dessous de 1 est aspirée vers zéro, et à exactement 1 rien ne bouge. Un facteur négatif retourne la direction à chaque étape, et un facteur 0 écrase le plan sur une droite en une seule étape, sans retour possible. Le déterminant y vaut 0, il n'y a donc pas d'inverse. Les cinq cas vous attendent dans les exemples.