L'élimination de Gauss-Jordan résout un système par pure routine. On écrit les coefficients et les seconds membres dans un même tableau, la matrice augmentée, puis on répète seulement trois gestes : échanger deux lignes, diviser une ligne par un nombre, et soustraire à une ligne un multiple d'une autre. L'animation ci-dessus exécute exactement ces gestes sur les nombres que vous saisissez.
Le but est la matrice identité dans la moitié gauche : la première ligne ne contient plus que x, la seconde que y, et la réponse se trouve à droite. Le chemin ne change jamais. On rend le coefficient de x égal à 1, on chasse x de l'autre ligne, puis on recommence avec y. Aucune intuition, seulement un ordre.
On échange quand l'endroit qui doit devenir un 1 contient un 0 : on ne divise pas par 0, alors on remonte la ligne du dessous. Si la moitié gauche refuse de devenir l'identité, la solution n'est pas unique. Un 0 = 3 contradictoire signifie qu'il n'y a pas de solution ; une équation qui se réduit à 0 = 0 signifie qu'il y en a une infinité. Les deux cas vous attendent dans les exemples.