Una matrice diagonale porta numeri solo sulla diagonale e zeri in tutto il resto. Applicandola a un vettore (x, y) del piano si ottiene (λ₁x, λ₂y). La x viene moltiplicata solo per λ₁ e la y solo per λ₂, e le due non si mescolano mai. Per questo la griglia dell'animazione qui sopra si allunga soltanto lungo gli assi, senza inclinarsi né ruotare.
Poiché nulla si mescola, la forma sopravvive alla ripetizione. Applicare D n volte dà Dⁿ, che non è altro che λ₁ⁿ e λ₂ⁿ posati sulla diagonale. Non serve percorrere i passaggi intermedi: dopo n applicazioni il vettore sta in (λ₁ⁿx, λ₂ⁿy), scritto in un colpo solo. Elevare a potenza una matrice qualunque costa fatica; in una diagonale moltiplicare diventa sommare esponenti.
Il destino a lungo andare dipende quindi solo dai fattori. Una direzione il cui fattore supera 1 in valore assoluto cresce senza limite, una sotto 1 viene tirata verso zero, e con esattamente 1 non si muove nulla. Un fattore negativo ribalta il verso a ogni passo, e un fattore 0 schiaccia il piano su una retta in un solo passo, senza ritorno. Lì il determinante è 0, quindi l'inversa non esiste. Tutti e cinque i casi ti aspettano negli esempi.