L'eliminazione di Gauss-Jordan risolve un sistema per pura routine. Si scrivono i coefficienti e i termini noti in un'unica tabella, la matrice completa, e poi si ripetono soltanto tre mosse: scambiare due righe, dividere una riga per un numero e sottrarre a una riga un multiplo di un'altra. L'animazione qui sopra esegue esattamente queste mosse sui numeri che inserisci.
L'obiettivo è la matrice identità nella metà sinistra: la prima riga resta con la sola x, la seconda con la sola y, e la risposta sta a destra. La strada è sempre la stessa. Si porta a 1 il coefficiente di x e si toglie la x dall'altra riga, poi si fa lo stesso con y. Non serve intuizione, serve l'ordine.
Si scambia quando il posto che deve diventare 1 contiene uno 0: per 0 non si può dividere, quindi si porta su la riga sotto. Se la metà sinistra non arriva a essere l'identità, la soluzione non è unica. Un 0 = 3 contraddittorio vuol dire che non c'è soluzione; un'equazione che si riduce a 0 = 0 vuol dire che ce ne sono infinite. Entrambi i casi ti aspettano negli esempi.