掃き出し法（ガウス・ジョルダン法）は、連立方程式を機械的に解く手順です。係数と右辺を 1 つの表（拡大行列）に書き写し、あとは行を入れかえる・行をある数で割る・ある行から別の行の何倍かを引く、という 3 つの操作を繰り返すだけです。上のアニメーションは、打ち込んだ数に対してその操作をそのまま実行します。
目指すのは左半分が単位行列になった形です。そこまで来ると 1 行目は x だけ、2 行目は y だけの式になり、答えは右端にそのまま残ります。道筋はいつも同じで、まず x の係数を 1 にして、もう一方の行から x を消す。次に y で同じことをする。ひらめきは要らず、順番だけがあります。
入れかえが要るのは、これから 1 にしたい場所が 0 のときです。0 では割れないので、下の行を上へ持ち上げてから進めます。どう変形しても左半分が単位行列にならないときは、解が 1 つに決まりません。0 = 3 のような矛盾した式が出れば解はなく、式が 1 本 0 = 0 に潰れれば解は無数にあります。どちらも例から試せます。