가우스-조던 소거법은 연립방정식을 기계적으로 푸는 절차입니다. 계수와 우변을 하나의 표(첨가행렬)에 옮겨 적고, 그다음에는 행을 바꾸기・행을 어떤 수로 나누기・어떤 행에서 다른 행의 몇 배를 빼기라는 세 가지 조작을 반복할 뿐입니다. 위의 애니메이션은 입력한 숫자에 대해 그 조작을 그대로 실행합니다.
목표는 왼쪽 절반이 단위행렬이 된 모양입니다. 거기까지 오면 1 행은 x 만, 2 행은 y 만 남은 식이 되고 답은 오른쪽 끝에 그대로 남습니다. 순서는 언제나 같아서, 먼저 x 의 계수를 1 로 만들고 다른 행에서 x 를 없앱니다. 다음에 y 로 같은 일을 합니다. 번뜩임은 필요 없고 순서만 있습니다.
교환이 필요한 때는 1 로 만들려는 자리가 0 일 때입니다. 0 으로는 나눌 수 없으므로 아래 행을 위로 올린 뒤 진행합니다. 아무리 변형해도 왼쪽 절반이 단위행렬이 되지 않으면 해가 하나로 정해지지 않습니다. 0 = 3 같은 모순된 식이 나오면 해가 없고, 식 하나가 0 = 0 으로 무너지면 해가 무수히 많습니다. 둘 다 예제에서 시험해 볼 수 있습니다.