おうぎ形の弧の長さと面積を求める公式

おうぎ形は円を切りとったものです。半分だけ切りとれば中心角は $180^\circ$、さらに半分切りとれば中心角は $90^\circ$ になります。ケーキを半分に切ったり、三分の一にしたりするときを想像するとわかりやすい。

おうぎ形の弧の長さと面積は下のように求めます。半径を $r$、中心角を $a^\circ$ とします。

弧の長さ $l$

\[ l = 2 \pi r \frac{ a }{ 360^\circ } \]

面積 $S$

\[ S = \pi r^2 \frac{ a }{ 360^\circ } \]

例 $1$

半径が $1 \text{cm}$、中心角が $45^\circ$ のおうぎ形の弧の長さと面積：

弧の長さ

\[ l = 2 \pi 1 \frac{ 45^\circ }{ 360^\circ } = \frac{ \pi }{ 4 } \]

面積

\[ S = \pi 1^2 \frac{ 45^\circ }{ 360^\circ } = \frac{ \pi }{ 8 } \]

例 $2$

半径が $3 \text{cm}$、中心角が $60^\circ$ のおうぎ形の弧の長さと面積：

弧の長さ

\[ l = 2 \pi 3 \frac{ 60^\circ }{ 360^\circ } = \pi \]

面積

\[ S = \pi 3^2 \frac{ 60^\circ }{ 360^\circ } = \frac{ 3 \pi }{ 2 } \]