二つの直線のなす角の公式（tanの加法定理の応用）

タンジェントの加法定理の応用として2直線のなす角を求める問題があります。

直線 $y=ax+b$ と $x$ 軸のなす角を $\alpha$ 、直線 $y=cx+d$ と $x$ 軸のなす角を $\beta$ とすると

$$\{\begin{array}{l}\tan \alpha =a\\ \tan \beta =c\end{array}$$

が成り立つ。したがって2直線 $y=ax+b$ と $y=cx+d$ のなす角を $\theta$ は

$$\begin{gathered} \tan \theta \\ =|\tan (\alpha -\beta )| \\ =\left|\frac{\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }\right| \\ =\left|\frac{a-c}{1+ac}\right| \end{gathered}$$

となる。ただし $\theta$ は $90^{\circ }$ でないとする。

2 直線のなす角の注意点

2 直線のなす角は、すべてが $90^{\circ }$ である場合を除いて、$90^{\circ }$ より小さい角と $90^{\circ }$ より大きい角があります。

一般的には、2 直線のなす角 $\theta$ は $90^{\circ }$ より小さい角を指します。

一方、直線 $y=ax+b$ と $x$ 軸のなす角を $\alpha$ 、直線 $y=cx+d$ と $x$ 軸のなす角を $\beta$ としても、 $\alpha -\beta$ が $90^{\circ }$ より小さいのか大きいのかわからない。

①　$\alpha -\beta$ が $90^{\circ }$ より小さいとき、 $\theta =\alpha -\beta$ となります。
②　$\alpha -\beta$ が $90^{\circ }$ より大きいとき、 $\theta =\alpha -\beta -90^{\circ }$ となります。

そしてどちらの場合も

$$\tan \theta =|\tan (\alpha -\beta )|$$

が成り立ちます。