2 直線が交わる角度は傾きだけで決まる（tan の加法定理）

$y=2x+1$ と $y=-3x+4$ のなす角は $45^{\circ }$ です。切片の $1$ と $4$ は一度も使いません。

2 直線 $y=ax+b$、$y=cx+d$ のなす角を $\theta$ とすると、傾きだけで次の式が決まる。

$$\tan \theta =\left|\frac{a-c}{1+ac}\right|$$

もとは tan の加法定理です^[1]。角の引き算が、傾きの分数ひとつに化ける。

傾きは x 軸となす角のタンジェント

直線 $y=ax+b$ が $x$ 軸の正の向きとなす角を $\alpha$ とする。このとき $\tan \alpha =a$ が成り立つ。

理由は傾きの定義そのものです。$x$ が $1$ 増えると $y$ は $a$ 増えるので、縦と横の比がちょうど $a$ になる。

切片 $b$ はこの比に効きません。直線を上下へ平行移動しても、$x$ 軸に対する傾きは変わらないため。

角のほうを主役にすると、$\alpha =\arctan a$ と書けます。傾きと角は同じ情報を別の形で持っている。

なす角は 2 つある

2 直線が交わると、角は 4 つできます。向かい合う 2 つずつが等しいので、実際には 2 種類。

この 2 つは足すと $180^{\circ }$ になります。$50^{\circ }$ と $130^{\circ }$、$45^{\circ }$ と $135^{\circ }$ という組み合わせ。

ふつう「なす角」と言えば、小さいほう、つまり $90^{\circ }$ 以下の角を指します。

公式に絶対値がついているのは、この小さいほうを選ぶためです。符号を捨てて鋭角に寄せている。

公式を導く

$\tan \alpha =a$、$\tan \beta =c$ と置きます。求めたい角は $\alpha$ と $\beta$ の差。

tan の加法定理の引き算の形を当てます^[2]。

$$\tan (\alpha -\beta )=\frac{\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }$$

右辺に $\tan \alpha =a$、$\tan \beta =c$ を入れると $\frac{a-c}{1+ac}$ になる。

$\alpha -\beta$ が鈍角のときは、この値が負になります。求めたいのは鋭角なので、絶対値をつけて向きをそろえる。

$$\begin{array}{rl}\tan \theta & =\left|\tan (\alpha -\beta )\right|\\ & =\left|\frac{a-c}{1+ac}\right|\end{array}$$

$\alpha -\beta$ が $120^{\circ }$ なら $\tan$ は $-\sqrt{3}$ で、絶対値は $\sqrt{3}$。$\theta =60^{\circ }$ と読めます。

$180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }$ と一致しました。絶対値が、鈍角を鋭角へ折り返す役をしている。

例：45 度になる組み合わせ

冒頭の $y=2x+1$ と $y=-3x+4$ を確かめます。$a=2$、$c=-3$。

分子は $a-c=2-(-3)=5$。分母は $1+ac=1+2\times (-3)=-5$。

$$\begin{array}{rl}\tan \theta & =\left|\frac{5}{-5}\right|\\ & =1\end{array}$$

$\tan \theta =1$ で $\theta$ は鋭角なので、$\theta =45^{\circ }$ と決まります。

分母が負になっても慌てません。絶対値がついているので、符号は最後にまとめて消える。

例：30 度になる組み合わせ

$y=\sqrt{3}x$ と $y=\frac{1}{\sqrt{3}}x$ を比べます。それぞれ $60^{\circ }$ と $30^{\circ }$ の直線。

$a=\sqrt{3}$、$c=\frac{1}{\sqrt{3}}$ を入れます。分子は $\sqrt{3}-\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{3-1}{\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}$。

分母は $1+\sqrt{3}\times \frac{1}{\sqrt{3}}=1+1=2$。

$$\begin{array}{rl}\tan \theta & =\left|\frac{2}{\sqrt{3}}÷2\right|\\ & =\frac{1}{\sqrt{3}}\end{array}$$

$\theta =30^{\circ }$。$60^{\circ }-30^{\circ }$ を素直に引いた値と合っています。

分母が 0 になるとき

$1+ac=0$、つまり $ac=-1$ のときは、公式の分数が作れません。

これは $\tan \theta$ が定義できない場合、すなわち $\theta =90^{\circ }$ を意味する。

傾きの積が $-1$ なら垂直。中学から使ってきた条件が、公式の分母に現れます。

$y=2x$ と $y=-\frac{1}{2}x$ なら $ac=-1$ です。分数を作る前に垂直と判断して終わり。

例：45 度をなす直線を探す

$y=2x$ と $45^{\circ }$ をなす直線の傾き $m$ を求めます。$\tan 45^{\circ }=1$ なので、次の式を解く。

$$\left|\frac{2-m}{1+2m}\right|=1$$

絶対値を外すと $\frac{2-m}{1+2m}=1$ と $\frac{2-m}{1+2m}=-1$ の 2 通りになります。

前者は $2-m=1+2m$ から $3m=1$、$m=\frac{1}{3}$。

後者は $2-m=-1-2m$ から $m=-3$ です。

答えは $m=\frac{1}{3}$ と $m=-3$ の 2 つ。もとの直線を挟んで両側に $45^{\circ }$ ずつ開くので、2 本になります。

この 2 本どうしの傾きの積は $\frac{1}{3}\times (-3)=-1$ で、互いに垂直になっている。

一般形の直線で使う

$ax+by+c=0$ の形で与えられたら、傾きに直してから当てます。$b\ne 0$ なら傾きは $-\frac{a}{b}$。

$3x-y+2=0$ は $y=3x+2$ なので傾き $3$。$x+2y-1=0$ は $y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$ で傾き $-\frac{1}{2}$。

積が $3\times \left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{3}{2}$ なので、分母は $1-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$。

分子は $3+\frac{1}{2}=\frac{7}{2}$ です。$\tan \theta =\left|\frac{7/2}{-1/2}\right|=7$。

$\theta =\arctan 7$ になります。きれいな角にはならないので、$\tan \theta =7$ のまま答える。

$b=0$ のときは直線が縦向きです。傾きが定義できないので、公式ではなく図で処理する。

つまずきやすいところ

分子を $c-a$ と書いても答えは同じです。絶対値の中なので、引く向きは結果に響かない。

分母は違います。$1+ac$ であって $1-ac$ ではない。引き算の加法定理では、分母の符号がいれかわります。

もう一つは、鈍角のまま答えてしまう形です。$\tan \theta$ が負になったら、まだ絶対値を外していない。

角度を聞かれているのか $\tan$ の値を聞かれているのかも見ます。$\arctan 7$ のような角は、値で答えるほかない。

垂直の判定も、同じ式の分母を見れば済みます。

傾きを角に翻訳し、差をとり、絶対値で鋭角へ戻す。

参考