サインとコサインの足し算をひとつの波にまとめる〜三角関数の合成

$\sin \theta +\sqrt{3}\cos \theta$ を、係数の 2 乗和の平方根 $\sqrt{1^2+(\sqrt{3}{)}^2}=2$ でくくります。

$$\sin \theta +\sqrt{3}\cos \theta =2\left(\frac{1}{2}\sin \theta +\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \theta \right)$$

かっこの中の $\frac{1}{2}$ は $\cos \frac{\pi }{3}$、$\frac{\sqrt{3}}{2}$ は $\sin \frac{\pi }{3}$。そのまま書きかえます。

$$\begin{array}{rl}2\left(\frac{1}{2}\sin \theta +\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \theta \right)& =2\left(\sin \theta \cos \frac{\pi }{3}+\cos \theta \sin \frac{\pi }{3}\right)\\ & =2\sin \left(\theta +\frac{\pi }{3}\right)\end{array}$$

1 行目のかっこが加法定理の右辺そのもの。これを合成といいます。

例 1：$\sin \theta +\cos \theta$

$r=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$ でくくります。

$$\sin \theta +\cos \theta =\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin \theta +\frac{1}{\sqrt{2}}\cos \theta \right)$$

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ は $\cos \frac{\pi }{4}$ でも $\sin \frac{\pi }{4}$ でもある。

$$\begin{array}{rl}\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin \theta +\frac{1}{\sqrt{2}}\cos \theta \right)& =\sqrt{2}\left(\sin \theta \cos \frac{\pi }{4}+\cos \theta \sin \frac{\pi }{4}\right)\\ & =\sqrt{2}\sin \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)\end{array}$$

$\theta =0$ を入れると両辺とも $1$ になります。

例 2：$\sqrt{3}\sin \theta -\cos \theta$

$\cos$ の係数を $-1$ と読みます。$r=\sqrt{3+1}=2$。

$$\sqrt{3}\sin \theta -\cos \theta =2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \theta -\frac{1}{2}\cos \theta \right)$$

$\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos \left(-\frac{\pi }{6}\right)$、$-\frac{1}{2}=\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)$ です。

$$\begin{array}{rl}2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \theta -\frac{1}{2}\cos \theta \right)& =2\left(\sin \theta \cos \left(-\frac{\pi }{6}\right)+\cos \theta \sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)\right)\\ & =2\sin \left(\theta -\frac{\pi }{6}\right)\end{array}$$

$\theta =0$ で両辺とも $-1$。

例 3：$-\sin \theta +\sqrt{3}\cos \theta$

$r=\sqrt{1+3}=2$ でくくります。

$$-\sin \theta +\sqrt{3}\cos \theta =2\left(-\frac{1}{2}\sin \theta +\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \theta \right)$$

$-\frac{1}{2}=\cos \frac{2}{3}\pi$、$\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin \frac{2}{3}\pi$。両方を満たす角は $\frac{2}{3}\pi$ しかありません。

$$\begin{array}{rl}2\left(-\frac{1}{2}\sin \theta +\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \theta \right)& =2\left(\sin \theta \cos \frac{2}{3}\pi +\cos \theta \sin \frac{2}{3}\pi \right)\\ & =2\sin \left(\theta +\frac{2}{3}\pi \right)\end{array}$$

$\tan \alpha =-\sqrt{3}$ だけを見ると $-\frac{\pi }{3}$ も候補になります。$-\frac{\pi }{3}$ を入れると $\cos \left(-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$ で、必要な $-\frac{1}{2}$ と符号が違う。

$\theta =0$ で確かめると、左辺は $\sqrt{3}$、右辺は $2\sin \frac{2}{3}\pi =\sqrt{3}$。

例 4：$\cos \theta -\sin \theta$

並べ替えて $-\sin \theta +\cos \theta$。$a=-1$、$b=1$ です。

$$\cos \theta -\sin \theta =\sqrt{2}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\sin \theta +\frac{1}{\sqrt{2}}\cos \theta \right)$$

$-\frac{1}{\sqrt{2}}=\cos \frac{3}{4}\pi$、$\frac{1}{\sqrt{2}}=\sin \frac{3}{4}\pi$。

$$\begin{array}{rl}\sqrt{2}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\sin \theta +\frac{1}{\sqrt{2}}\cos \theta \right)& =\sqrt{2}\left(\sin \theta \cos \frac{3}{4}\pi +\cos \theta \sin \frac{3}{4}\pi \right)\\ & =\sqrt{2}\sin \left(\theta +\frac{3}{4}\pi \right)\end{array}$$

$\sin$ の係数が $a$、$\cos$ の係数が $b$。並べ替えずに使うと $\alpha$ が別の角になる。

例 5：$3\sin \theta +4\cos \theta$

$r=\sqrt{9+16}=5$。$\cos \alpha =\frac{3}{5}$、$\sin \alpha =\frac{4}{5}$ を満たす角は有名角にありません。

$$\begin{array}{rl}3\sin \theta +4\cos \theta & =5\left(\frac{3}{5}\sin \theta +\frac{4}{5}\cos \theta \right)\\ & =5\left(\sin \theta \cos \alpha +\cos \theta \sin \alpha \right)\\ & =5\sin (\theta +\alpha )\end{array}$$

$\alpha$ の値を書かずに進む。振れ幅を決めているのは $r$ のほうです。

例 6：$0\le \theta <2\pi$ で $\sin \theta +\sqrt{3}\cos \theta$ の最大値と最小値

合成すると $2\sin \left(\theta +\frac{\pi }{3}\right)$。中身の動く範囲を計算します。

$$\frac{\pi }{3}\le \theta +\frac{\pi }{3}<\frac{7}{3}\pi$$

幅が $2\pi$ あるので $\sin$ は $-1$ から $1$ まで全部とる。最大値は $2$ で $\theta =\frac{\pi }{6}$、最小値は $-2$ で $\theta =\frac{7}{6}\pi$。

$\theta =\frac{\pi }{6}$ をもとの式に入れます。

$$\begin{array}{rl}\sin \frac{\pi }{6}+\sqrt{3}\cos \frac{\pi }{6}& =\frac{1}{2}+\sqrt{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}\\ & =\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\\ & =2\end{array}$$

例 7：$0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$ で $\sin \theta -\cos \theta$ の最大値と最小値

$a=1$、$b=-1$ で $r=\sqrt{2}$。$\frac{1}{\sqrt{2}}=\cos \left(-\frac{\pi }{4}\right)$、$-\frac{1}{\sqrt{2}}=\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)$ なので $\alpha =-\frac{\pi }{4}$。

$$\begin{array}{rl}\sin \theta -\cos \theta & =\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin \theta -\frac{1}{\sqrt{2}}\cos \theta \right)\\ & =\sqrt{2}\left(\sin \theta \cos \left(-\frac{\pi }{4}\right)+\cos \theta \sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)\right)\\ & =\sqrt{2}\sin \left(\theta -\frac{\pi }{4}\right)\end{array}$$

中身の動く範囲は次のとおり。

$$-\frac{\pi }{4}\le \theta -\frac{\pi }{4}\le \frac{\pi }{4}$$

幅が $\frac{\pi }{2}$ しかないので、$\sin$ は $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ から $\frac{1}{\sqrt{2}}$ までしか動きません。最大値は $1$ で $\theta =\frac{\pi }{2}$、最小値は $-1$ で $\theta =0$。

例 8：$0\le \theta <2\pi$ で $\sin \theta +\sqrt{3}\cos \theta =1$ を解く

左辺を合成してから両辺を $2$ で割ります。

$$\begin{array}{rl}2\sin \left(\theta +\frac{\pi }{3}\right)& =1\\ \sin \left(\theta +\frac{\pi }{3}\right)& =\frac{1}{2}\end{array}$$

中身の範囲は例 6 と同じ。この範囲で $\sin$ が $\frac{1}{2}$ になるのは $\frac{5}{6}\pi$ と $\frac{13}{6}\pi$ の 2 つで、$\frac{\pi }{6}$ は範囲の外にあります。

$$\begin{array}{rl}\theta & =\frac{5}{6}\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}\\ \theta & =\frac{13}{6}\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{11}{6}\pi \end{array}$$

$\theta =\frac{\pi }{2}$ なら $1+\sqrt{3}\times 0=1$、$\theta =\frac{11}{6}\pi$ なら $-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=1$。

係数の 2 乗和の平方根でくくり、残った 2 つを $\cos \alpha$ と $\sin \alpha$ として読む。範囲がついているときは、$\theta +\alpha$ の動く幅を先に計算します。