利息を細かく刻んでも 2.72 倍で止まる〜ネイピア数 e と自然対数の底

$h$ を $0.1$、$0.01$、$0.001$ と小さくしながら $(1+h{)}^{1/h}$ を計算すると、$2.5937$、$2.7048$、$2.7169$ と値が動きます。行き先は $2.718281828\dots$。

この数を $e$ と書き、自然対数の底、またはネイピア数と呼びます^[5]。

$$e=\underset{h\to 0}{\lim }(1+h{)}^{\frac{1}{h}}$$

$h=\frac{1}{n}$ と置けば $n\to \infty$ の形になる。指している数は同じです。

$$e=\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$$

1 年に何回利息をつけるか

この極限は複利の計算から出てきました。ヤコブ・ベルヌーイが 1683 年に調べた問題です^[1]。

年利 100% で 1 万円を預けます。1 年に 1 回だけ利息がつくなら、1 年後は 2 万円。

半年ごとに 50% ずつつけると ${\left(1+\frac{1}{2}\right)}^2=2.25$ 倍になり、少し得をします。

刻む回数を増やすほど有利になる。では毎日、毎秒と刻めばいくらでも増えるのか。増えません。

刻む回数を $n$ とすると、1 年後の倍率が ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ です。$n$ を無限に飛ばした先が $e$。

ベルヌーイは二項定理を使い、この極限が $2$ と $3$ のあいだにあることまで示しました^[1]。数が極限で定義された最初の例といわれます。

例：連続複利

年利 $r$、$n$ 回に刻む、$t$ 年後という設定なら、元利合計は $A=P{\left(1+\frac{r}{n}\right)}^{nt}$ です^[2]。

$m=\frac{n}{r}$ と置くと ${\left(1+\frac{1}{m}\right)}^m$ の形が現れ、$n\to \infty$ で $e$ に向かいます。

$$A=P{e}^{rt}$$

刻みを消した極限が指数関数になる。銀行の計算式が、そのまま $e$ の定義になっています。

2 と 3 のあいだに閉じこめる

${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ を二項定理で開くと、上からの評価が作れます。

$$\begin{array}{rl}{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n& =\sum _{k=0}^n{}_n{\mathrm{C}}_k\frac{1}{n^k}\\ & =\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}\cdot 1\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdots \left(1-\frac{k-1}{n}\right)\end{array}$$

括弧はどれも $1$ 以下なので、全体は $\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}$ 以下です。

さらに $k\ge 1$ では $k!\ge 2^{k-1}$ が成り立ちます。$1\cdot 2\cdot 3\cdots k$ の各因子が $2$ 以上だからです。

$$\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}\le 1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots <1+2=3$$

上限 $3$ が出ました^[3]。下限は $n=1$ の値 $2$ で足ります。

指数を $1$ 増やした ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{n+1}$ は、逆に上から減りながら $e$ に近づきます。同じ数を上下から挟む形。

単調に増えることを示す

上に有界なだけでは足りません。増え続けることを示せば、収束が確定します^[3]。

比をとって $1$ 以上を確かめる形にします。$G_n={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ と置く。

$$\frac{G_{n+1}}{G_n}=\frac{n+2}{n+1}{\left(\frac{n^2+2n}{n^2+2n+1}\right)}^n=\frac{n+2}{n+1}{\left(1-\frac{1}{(n+1{)}^2}\right)}^n$$

ここでベルヌーイの不等式 $(1+a{)}^n\ge 1+na$（$a\ge -1$）を使います。$a=-\frac{1}{(n+1{)}^2}$ と置く。

$$\frac{G_{n+1}}{G_n}\ge \frac{n+2}{n+1}\left(1-\frac{n}{(n+1{)}^2}\right)=\frac{n^3+3n^2+3n+2}{n^3+3n^2+3n+1}>1$$

分子が分母より $1$ だけ大きいので、比は必ず $1$ を超えます^[3]。

階乗の和としての表示

上の評価で使った $\sum \frac{1}{k!}$ そのものが $e$ になります。オイラーが 1748 年に与えた形です^[1]。

$$e=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots$$

$8$ 項で $2.71825$ まで出ます。極限の定義より収束が速く、手計算で桁を伸ばすならこちらが実用的です。

オイラーはこの級数から $18$ 桁を計算しました^[1]。$e$ が無理数であることも彼が 1737 年に示しています^[5]。

例：指数が $2n$ の形

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{2n}$ を求めます。指数を分けるだけで済む。

$${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{2n}={\left\{{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n\right\}}^2\to e^2$$

$e^2=7.389\dots$ です。指数の係数が、そのまま $e$ の肩に乗ります。

例：分子が $2$ の形

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{2}{n}\right)}^n$ では、$\frac{2}{n}$ を $\frac{1}{m}$ に直します。

$m=\frac{n}{2}$ と置くと $n=2m$ で、$n\to \infty$ は $m\to \infty$ と同じこと。

$${\left(1+\frac{2}{n}\right)}^n={\left(1+\frac{1}{m}\right)}^{2m}\to e^2$$

一般に ${\left(1+\frac{r}{n}\right)}^n\to e^r$ です。連続複利の式と同じ変形になっています。

例：符号が負の形

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1-\frac{1}{n}\right)}^n$ は $r=-1$ の場合にあたります。

$m=-n$ と置くと ${\left(1+\frac{1}{m}\right)}^{-m}$ となり、$m\to -\infty$ でも $e$ へ向かう性質から $e^{-1}$。

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1-\frac{1}{n}\right)}^n=\frac{1}{e}=0.3679\dots$$

${\left(1-\frac{1}{n}\right)}^n$ は下から $\frac{1}{e}$ に近づきます。$n=100$ で $0.3660$。

例：分母がずれている形

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(\frac{n+2}{n+1}\right)}^n$ を求めます。まず $1+\frac{1}{n+1}$ と書き直す。

指数を $n+1$ にそろえたいので、余分な $1$ 回ぶんを外へ出します。

$${\left(1+\frac{1}{n+1}\right)}^n=\frac{{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)}^{n+1}}{1+\frac{1}{n+1}}\to \frac{e}{1}=e$$

分母は $1$ に収束するので効きません。指数のずれは、この形で吸収できます。

例：$x\to 0$ の形に直す

$\underset{x\to 0}{\lim }(1+3x{)}^{\frac{1}{x}}$ では、指数を $\frac{1}{3x}$ にそろえます。

$$(1+3x{)}^{\frac{1}{x}}={\left\{(1+3x{)}^{\frac{1}{3x}}\right\}}^3\to e^3$$

$t=3x$ と置けば $t\to 0$ で $(1+t{)}^{1/t}\to e$。中身と指数の逆数をそろえる、という一手だけです。

$e$ を定義に持つ 2 つの極限

$e$ の値がそのまま効く極限が 2 つあります。どちらも微分の公式を生みます。

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\log (1+x)}{x}=1,\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=1$$

左は $\log (1+x{)}^{1/x}\to \log e=1$ から出ます。定義の式に対数をとっただけ。

右は $t=e^x-1$ と置くと $x=\log (1+t)$ で、$\frac{t}{\log (1+t)}$ の形になり、左の逆数として $1$ に向かいます。

右の極限は「$y=e^x$ の $x=0$ での接線の傾きが $1$」と言いかえられます^[4]。

底を $2$ にすると傾きは $0.693$、$3$ にすると $1.099$。ちょうど $1$ になる底が $e$ です。

例：底が $a$ のとき

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{a^x-1}{x}$ を求めます。$a^x=e^{x\log a}$ と書き直す。

$t=x\log a$ と置くと $x=\frac{t}{\log a}$ で、$x\to 0$ は $t\to 0$ と同じです。

$$\frac{a^x-1}{x}=\frac{e^t-1}{t}\cdot \log a\to \log a$$

$a=2$ なら $\log 2=0.693$、$a=3$ なら $\log 3=1.099$。接線の傾きの値と一致します。

微分の公式が $e$ から出る

導関数の定義に、いま求めた極限を入れます。$e^x$ から始めます。

$$(e^x{)}^{\prime }=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{e^{x+h}-e^x}{h}=e^x\underset{h\to 0}{\lim }\frac{e^h-1}{h}=e^x$$

微分しても形が変わらない関数になりました^[4]。高さと傾きがどの点でも等しい。

底が $a$ なら、同じ計算で $\log a$ が残ります。

$$(a^x{)}^{\prime }=a^x\log a$$

例：対数の微分を定義から出す

$\log x$ の導関数も、同じ 2 つの極限だけで出ます。

$$\begin{array}{rl}(\log x{)}^{\prime }& =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\log (x+h)-\log x}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1}{x}\cdot \frac{\log \left(1+\frac{h}{x}\right)}{\frac{h}{x}}=\frac{1}{x}\end{array}$$

底を $a$ にすると $\log a$ が分母に残り、$({\log }_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\log a}$ となります。

$e$ を底に選ぶと、この余分な定数が消える。数学で対数の底を省くのは、そのためです。

補足：計算機で確かめると崩れる

定義の式をそのまま表計算に入れると、$h$ を小さくするほど精度が上がる、とはなりません。

$h=10^{-16}$ では $1+h$ が $1$ そのものに丸められ、$1$ の何乗を計算しても $1$ です。

その手前でも桁が食い違います。$1+h$ を記録した時点で下位の桁が落ち、それを $\frac{1}{h}$ 乗して誤差が拡大するためです。

極限が正しくても、有限桁の計算では途中で折り返します。数値実験は $h=10^{-8}$ あたりまでにとどめておく。

対数の側も確かめます。

刻みを細かくしても倍率が止まる。その止まる先が $e$ で、微分の公式もそこから出てきます。

参考