右手系 3 次元座標とベクトルの外積｜定義と公式、大きさは平行四辺形の面積

外積は 2 つのベクトルから 1 つのベクトルを作る演算です。内積が数を返すのに対し、こちらは向きを持ったものが返ってくる。

$$\mathbf{a}\times \mathbf{b}=(|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin \theta )\mathbf{n}$$

$\mathbf{n}$ は $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ の両方に直交する単位ベクトルです。垂直な向きは上下 2 つあるので、どちらをとるかを決める約束が要る。それが右手の法則。

答えがベクトルであることが、この演算の使いどころを決めている。平面に垂直な向きが要る場面、回転の軸が要る場面で、そのまま答えになるからです。

右手系と左手系

3 次元の座標には右手系と左手系がある。右手の親指と人差し指と中指を互いに直交するように開き、親指を $x$ 軸、人差し指を $y$ 軸、中指を $z$ 軸に当てたものが右手系です。

親指と人差し指をそのままにして、中指と真逆の向きを $z$ 軸にとれば左手系になる。鏡に映すと一方が他方に移ります。

外積を考えるときは右手系を使う。左手系で同じ手順をたどると、答えの向きが逆に出てしまうからです。

どちらが正しいという話ではなく、決めごと。数学と物理はふつう右手系をとりますが、画面の奥行きを正の向きにとる都合で、コンピュータグラフィックスには左手系を使う環境もある。約束が違えば同じ式が違う結果を返すので、最初にどちらかを決めます。

外積の定義

大きさと向きを別々に決める。大きさは $|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin \theta$ で、$\theta$ は 2 つのベクトルのなす角です。

向きは両方に直交する側にとり、$\mathbf{a}$、$\mathbf{b}$、$\mathbf{a}\times \mathbf{b}$ がこの順に右手系をなすほうを選ぶ。直交する向きは 2 つあるので、この約束で片方に決まります。

零ベクトルが絡む場合は別に決める。

$$0\times \mathbf{a}=\mathbf{a}\times 0=0$$

零ベクトルには向きがなく、なす角も定まりません。上の式では決まらないので、定義に含める。

大きさは平行四辺形の面積

$|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin \theta$ は底辺と高さの積。底辺を $|\mathbf{a}|$ と見れば、高さが $|\mathbf{b}|\sin \theta$ にあたります。

つまり外積の大きさは、2 本が張る平行四辺形の面積です。内積が影の長さを測るのに対して、外積は面積を測る。

三角形の面積が要るなら半分にする。3 点から 2 本のベクトルを作れば、そのまま使えます。

見方を変えると、1 つのベクトルに面積と向きが詰まっている。長さが面積を、向きが平行四辺形の乗っている平面と表裏を伝えています。数だけでは表せない情報を、まとめて運ぶ形。

例：外積の大きさを求める

$|\mathbf{a}|=3$、$|\mathbf{b}|=4$、なす角が $30^{\circ }$ の場合を計算する。

$\sin 30^{\circ }=1/2$ なので、大きさは $3\cdot 4\cdot \frac{1}{2}=6$ です。

同じ 2 本の内積は $3\cdot 4\cdot \cos 30^{\circ }=6\sqrt{3}$ になる。角が小さいほど内積は大きく、外積は小さくなります。

平行なら零ベクトルになる

$\theta =0$ でも $\theta =\pi$ でも $\sin \theta =0$ です。向きがそろっていても真逆でも、外積は零ベクトルになる。

とくに $\mathbf{a}\times \mathbf{a}=0$ です。平行四辺形が潰れて面積が消える、と読める。

逆に外積が零ベクトルで、どちらの長さも $0$ でなければ 2 本は平行。平行かどうかを外積で判定できます。

内積では直交が $0$ で表されました。外積では平行が $0$ になる。ちょうど裏返しの関係。

3 点が一直線に並ぶかどうかも、これで判定できます。1 点を基準に 2 本のベクトルを作り、外積をとって零ベクトルなら並んでいる。角度を求める必要はありません。

反交換律

順番を入れ替えると符号が変わる。

$$\mathbf{a}\times \mathbf{b}=-\mathbf{b}\times \mathbf{a}$$

大きさは $\sin \theta$ で決まるので変わりません。変わるのは向きだけ。

右手の法則を $\mathbf{b}$、$\mathbf{a}$ の順に当てると、親指は逆を向く。数の掛け算とも内積とも違って、順序が結果を左右します。

分配法則とスカラー倍

和については分配する。

$$\mathbf{a}\times (\mathbf{b}+\mathbf{c})=\mathbf{a}\times \mathbf{b}+\mathbf{a}\times \mathbf{c}$$

左からも同じ形で、$(\mathbf{a}+\mathbf{b})\times \mathbf{c}=\mathbf{a}\times \mathbf{c}+\mathbf{b}\times \mathbf{c}$ が成り立ちます。

スカラー倍は外へ出せる。

$$(m\mathbf{a})\times \mathbf{b}=\mathbf{a}\times (m\mathbf{b})=m(\mathbf{a}\times \mathbf{b})$$

両方の変数について線形なので、外積も双線形な演算です。この性質があるおかげで、成分に分けて計算できる。

結合法則は成り立たない

括弧の位置を変えると値が変わる。

$$(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\times \mathbf{c}\ne \mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c})$$

座標軸方向の単位ベクトルで確かめる。定義から、$x$ 軸方向と $y$ 軸方向の単位ベクトルの外積は $z$ 軸方向を向き、大きさは $1$ です。

同じベクトルを 2 回並べると $({\mathbf{e}}_1\times {\mathbf{e}}_1)\times {\mathbf{e}}_2$ は零ベクトルになる。括弧の中が先に消えるからです。

ところが ${\mathbf{e}}_1\times ({\mathbf{e}}_1\times {\mathbf{e}}_2)={\mathbf{e}}_1\times {\mathbf{e}}_3=-{\mathbf{e}}_2$ です。片方が零ベクトルで、もう片方はそうでないので一致しない。

括弧を省いて $\mathbf{a}\times \mathbf{b}\times \mathbf{c}$ と書けないのはこのためです。どちらの意味かが決まらない式は、そもそも意味を持たない。

ベクトル三重積

外積を 2 回とった式は、内積を使って展開できる。

$$\mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c})=(\mathbf{a}\cdot \mathbf{c})\mathbf{b}-(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})\mathbf{c}$$

右辺は $\mathbf{b}$ と $\mathbf{c}$ の一次結合。$\mathbf{b}\times \mathbf{c}$ が 2 本の張る平面に垂直で、それとさらに外積をとれば平面へ戻ってくるからです。

並びから BAC-CAB の規則と呼ばれる。グラスマンの恒等式という名前もあります。

括弧が左にある形では、残るベクトルの組み合わせが変わる。

$$(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\times \mathbf{c}=(\mathbf{a}\cdot \mathbf{c})\mathbf{b}-(\mathbf{b}\cdot \mathbf{c})\mathbf{a}$$

例：ベクトル三重積を展開する

$\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ が同じで、長さが $1$ の場合を見る。

公式に当てはめると $\mathbf{b}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c})=(\mathbf{b}\cdot \mathbf{c})\mathbf{b}-\mathbf{c}$ になります。$\mathbf{b}\cdot \mathbf{b}=1$ を使った。

右辺は $\mathbf{c}$ から $\mathbf{b}$ 方向の成分を引いた残り、つまり直交成分の符号を変えたもの。正射影の分解がそのまま現れています。

ヤコビ恒等式

3 つを巡回させて足すと消える。

$$\mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c})+\mathbf{b}\times (\mathbf{c}\times \mathbf{a})+\mathbf{c}\times (\mathbf{a}\times \mathbf{b})=0$$

ベクトル三重積の公式を 3 回使えば示せます。展開すると項が 6 つ出てきて、内積の対称性から 2 つずつ打ち消し合う。

結合法則の代わりに立つ関係。この恒等式を満たす積を持つ空間をリー代数といい、3 次元の外積はその代表例になっています。

内積との関係

大きさの二乗を書くと、内積とのつながりが見える。

$$|\mathbf{a}\times \mathbf{b}{|}^2=|\mathbf{a}{|}^2|\mathbf{b}{|}^2-(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}{)}^2$$

ラグランジュの恒等式です。${\sin }^2\theta =1-{\cos }^2\theta$ を、内積と外積の言葉に置き換えた式にあたる。

内積は $\cos$ を、外積は $\sin$ を測ります。片方が最大のとき、もう片方は $0$ になる。2 本の関係を、そろい具合と開き具合という 2 つの面から見る形。

この式から、なす角も求まる。外積の大きさを長さの積で割れば $\sin \theta$ が出るので、内積と組み合わせれば角が一意に決まります。

スカラー三重積

外積のあとに内積をとると、数が出てくる。

$$\mathbf{a}\cdot (\mathbf{b}\times \mathbf{c})$$

巡回させて入れ替えても値は変わらない。

$$\mathbf{a}\cdot (\mathbf{b}\times \mathbf{c})=\mathbf{b}\cdot (\mathbf{c}\times \mathbf{a})=\mathbf{c}\cdot (\mathbf{a}\times \mathbf{b})$$

隣り合う 2 つを入れ替えると符号が反転します。値は 3 本が張る平行六面体の符号つき体積で、$0$ なら 3 本が同じ平面に乗っている。

3 本を並べた行列の行列式が、この値と一致する。平面での外積が符号つき面積になるのと、ちょうど同じ関係です。

3 次元でしか作れない

外積は 3 次元に固有の演算です。2 次元では、2 本に垂直な向きが平面の外へ出てしまう。

4 次元以上になると、2 本に垂直な向きが 1 つに定まらない。垂直な方向が広がりを持ってしまい、どれを選ぶかが決まりません。

大きさと向きの条件をどちらも満たす積が作れるのは、3 次元と 7 次元だけだと知られています。3 次元では符号を除いて一通りに決まる。

2 次元では、外積の代わりに数を返す量を使う。2 本が張る平行四辺形の符号つき面積で、これが 2 次の行列式にあたります。向きは正負の符号だけで足りるので、ベクトルにする必要がない。

平面のベクトルを扱うときは、$z$ 成分を $0$ として 3 次元に埋める手もあります。外積の結果は $z$ 軸方向を向き、その成分が符号つき面積になる。

鏡に映すと符号が変わる

外積は、ふつうのベクトルとは違うふるまいをする。鏡に映すと、向きが期待と逆になります。

$\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ を鏡に映してから外積をとった結果と、$\mathbf{a}\times \mathbf{b}$ を鏡に映した結果は一致しません。符号が反対になる。

右手系が左手系に変わってしまうからです。こうしたものを擬ベクトルと呼び、速度や力のような真のベクトルと区別する。

角速度や磁束密度も擬ベクトルです。物理で向きの約束が問題になるのは、この性質が効いているため。

法線ベクトルとトルク

平面に垂直な向きが要るとき、外積が使える。平面上の 2 本をとって外積を作れば、それが法線ベクトルです。

3 点が与えられたら、差をとって 2 本のベクトルを作る。外積が零ベクトルなら、3 点は一直線に並んでいます。

力学ではトルクが $\mathbf{r}\times \mathbf{F}$ です。腕と力のうち垂直な成分だけが回転に効く、という事情が $\sin \theta$ に出ている。

角運動量やローレンツ力も外積で書かれます。回転や向きが絡む量に、繰り返し現れる形。

コンピュータグラフィックスでは、面の向きを法線ベクトルで持ちます。光の当たり方を計算するのに、面と光源の向きの関係が要るからです。三角形の 3 頂点から外積を作れば、その面の向きが得られる。

よくある誤り

参考文献