2 次正方行列と 2 次元ベクトルの積｜連立方程式・逆行列・行列式が 0 の場合

行列とベクトルのかけ算を定義すると、連立方程式が $Av=u$ という 1 本の式になる。解くことは、$A$ と $u$ から $v$ を求めることに変わる。

2 次正方行列の和と積では行列どうしの積を定義した。かける相手はベクトルでもよく、規則も同じである。

以下では積の定義から始め、19 個の計算例を 1 つずつ手で追う。後半は連立方程式との対応を扱い、行列式が $0$ になる場合まで見る。

行列とベクトルの積の定義

2 次正方行列 $A$ と 2 次元ベクトル $v$ を次のようにおく。

$$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right),v=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$$

このとき積 $Av$ を次のように定める。

$$Av=\left(\begin{array}{c}ax+by\\ cx+dy\end{array}\right)$$

結果は 2 次元ベクトルである。行列をかけてもベクトルはベクトルのままで、平面から出ることはない。

定義の読み方

$Av$ の第 1 成分 $ax+by$ は、$A$ の 1 行目 $(a,b)$ と $v$ の成分 $(x,y)$ の内積である。

第 2 成分 $cx+dy$ も同じで、$A$ の 2 行目 $(c,d)$ と $(x,y)$ の内積になっている。

行ごとに内積を取る。それだけの操作だと思えばよい。

新しい規則を覚える必要もない。行列どうしの積で、後ろの行列の列が 1 本しかない場合にあたる。

計算例: 数値をあてはめる

次の $A$ と $v$ で積を計算する。

$$A=\left(\begin{array}{cc}5& 2\\ 8& 4\end{array}\right),v=\left(\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right)$$

定義どおりに、行ごとの内積を並べる。

$$Av=\left(\begin{array}{c}5\times 3+2\times 4\\ 8\times 3+4\times 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}23\\ 40\end{array}\right)$$

第 1 成分は $15+8=23$ である。第 2 成分はかけ算を 2 回してから足すので、$24+16=40$ と区切って書くと数を取り違えにくい。

計算例: 負の数を含む場合

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ -3& 4\end{array}\right),v=\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)$$

負の成分は括弧でくくって書き下す。

$$Av=\left(\begin{array}{c}1\times 5+(-2)\times 2\\ (-3)\times 5+4\times 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5-4\\ -15+8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ -7\end{array}\right)$$

括弧を省いて $-2\times 2$ と書くと、直前の項の符号と混ざる。ここは丁寧に書いたほうが早い。

計算例: 分数を含む場合

分数が成分に並ぶときは、共通の分母を行列の外へ出しておく。

$$A=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ -1& 1\end{array}\right),v=\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right)$$

整数のまま計算し、最後に $\frac{1}{2}$ をかければよい。

$$Av=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}1\times 4+3\times 2\\ (-1)\times 4+1\times 2\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}10\\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5\\ -1\end{array}\right)$$

各成分に分数を分配してから足すより、通分の手間が減る。

計算例: 零行列をかける

成分がすべて $0$ の行列を零行列といい、$O$ と書く。

$$O=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right),v=\left(\begin{array}{c}7\\ -3\end{array}\right)$$

$$Ov=\left(\begin{array}{c}0\times 7+0\times (-3)\\ 0\times 7+0\times (-3)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$$

どんな $v$ を持ってきても零ベクトルになる。平面全体が原点 1 点につぶれてしまう例である。

計算例: 単位行列をかける

$$I=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),v=\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)$$

$$Iv=\left(\begin{array}{c}1\times 4+0\times 3\\ 0\times 4+1\times 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)$$

もとのベクトルがそのまま出てきた。任意の $v$ について $Iv=v$ が成り立つ。

この性質は後半で効いてくる。連立方程式を逆行列で解く仕組みは、ここを土台にしている。

単位行列で変わらない理由

$I$ の 1 行目は $(1,0)$ である。これと $(x,y)$ の内積は $1\cdot x+0\cdot y=x$ になる。

2 行目 $(0,1)$ との内積は $y$ である。成分をそのまま取り出して並べているだけなので、結果は $v$ に戻る。

$$Iv=\left(\begin{array}{c}1\times x+0\times y\\ 0\times x+1\times y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=v$$

実数のかけ算で $1$ が果たす役割を、行列では $I$ が引き受けている。

計算例: 対角行列をかける

対角成分だけが $0$ でない行列は、成分ごとの拡大縮小になる。

$$A=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& -2\end{array}\right),v=\left(\begin{array}{c}1\\ 5\end{array}\right)$$

$$Av=\left(\begin{array}{c}3\times 1+0\times 5\\ 0\times 1+(-2)\times 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ -10\end{array}\right)$$

第 1 成分が $3$ 倍、第 2 成分が $-2$ 倍になった。$x$ 方向と $y$ 方向が互いに影響しない形である。

列ベクトルの一次結合として見る

積にはもう 1 つの読み方がある。$A$ を列で切って、2 本のベクトルに分けてみる。

$${\vec{a}}_1=\left(\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right),{\vec{a}}_2=\left(\begin{array}{c}b\\ d\end{array}\right)$$

すると定義の式は次のように書き換えられる。

$$Av=\left(\begin{array}{c}ax+by\\ cx+dy\end{array}\right)=x\left(\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right)+y\left(\begin{array}{c}b\\ d\end{array}\right)=x{\vec{a}}_1+y{\vec{a}}_2$$

$Av$ とは、$A$ の列を $v$ の成分で重みづけした一次結合である。行で読めば内積、列で読めば一次結合になる。

この見方は一次独立と一次従属につながる。後半で行列式が $0$ になる場合を考えるとき、こちらの読み方が効いてくる。

計算例: 列の一次結合で計算する

さきほどと同じ $A$ と $v$ を、今度は列で読む。

$$A=\left(\begin{array}{cc}5& 2\\ 8& 4\end{array}\right),v=\left(\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right)$$

列は $(5,8)$ と $(2,4)$ で、重みはそれぞれ $3$ と $4$ である。

$$Av=3\left(\begin{array}{c}5\\ 8\end{array}\right)+4\left(\begin{array}{c}2\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}15\\ 24\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}8\\ 16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}23\\ 40\end{array}\right)$$

行で読んだときと同じ $(23,40)$ になった。2 通りの読み方は、そのまま検算に使える。

積の線形性

積には次の 2 つの性質がある。

$$A(v+w)=Av+Aw,A(kv)=k(Av)$$

足してからかけても、かけてから足しても結果は同じである。定数倍も外へ出せる。

この 2 つをまとめて線形性という。定義の式を成分で書き下せば、どちらもすぐ確かめられる。

計算例: 線形性を数値で確かめる

$$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 4\end{array}\right),v=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right),w=\left(\begin{array}{c}3\\ -1\end{array}\right)$$

先にそれぞれへ $A$ をかける。

$$Av=\left(\begin{array}{c}2+2\\ 3+8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ 11\end{array}\right),Aw=\left(\begin{array}{c}6-1\\ 9-4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right)$$

足すと $(9,16)$ である。次は順序を入れ替えて、先に $v+w=(4,1)$ を作る。

$$A(v+w)=\left(\begin{array}{c}2\times 4+1\times 1\\ 3\times 4+4\times 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}9\\ 16\end{array}\right)$$

一致した。どちらの順序で進めてもよい。

行列は平面をどう動かすか

行列は平面上の点をまとめて別の場所へ送る。単位正方形の頂点を送ってみると、動き方が目に見える。

$(1,0)$ の行き先は $A$ の 1 列目、$(0,1)$ の行き先は 2 列目である。列の一次結合として読めば、これは定義からすぐ出る。

<svg viewBox="0 0 700 306" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:100%;height:auto;display:block;margin:0 auto"><defs><marker id="mv-a" viewBox="0 0 10 10" refX="9" refY="5" markerWidth="7" markerHeight="7" orient="auto"><path d="M 0 0 L 10 5 L 0 10 z" fill="#1b81e0"/></marker></defs><line x1="30" y1="226" x2="330" y2="226" stroke="#8a8a8a" stroke-width="1"/><line x1="110" y1="266" x2="110" y2="46" stroke="#8a8a8a" stroke-width="1"/><polygon points="110,226 150,226 150,186 110,186" fill="#ebf5ff" stroke="#1b81e0" stroke-width="2"/><line x1="110" y1="226" x2="150" y2="226" stroke="#1b81e0" stroke-width="2" marker-end="url(#mv-a)"/><line x1="110" y1="226" x2="110" y2="186" stroke="#1b81e0" stroke-width="2" marker-end="url(#mv-a)"/><text x="140" y="246" font-size="12" fill="#1b81e0">(1, 0)</text><text x="62" y="182" font-size="12" fill="#1b81e0">(0, 1)</text><text x="180" y="34" font-size="13" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">もとの単位正方形</text><text x="180" y="288" font-size="12" fill="#8a8a8a" text-anchor="middle">面積 1</text><line x1="380" y1="226" x2="680" y2="226" stroke="#8a8a8a" stroke-width="1"/><line x1="460" y1="266" x2="460" y2="46" stroke="#8a8a8a" stroke-width="1"/><polygon points="460,226 540,186 580,106 500,146" fill="#ebf5ff" stroke="#1b81e0" stroke-width="2"/><line x1="460" y1="226" x2="540" y2="186" stroke="#1b81e0" stroke-width="2" marker-end="url(#mv-a)"/><line x1="460" y1="226" x2="500" y2="146" stroke="#1b81e0" stroke-width="2" marker-end="url(#mv-a)"/><text x="548" y="182" font-size="12" fill="#1b81e0">(2, 1)</text><text x="466" y="138" font-size="12" fill="#1b81e0">(1, 2)</text><text x="530" y="34" font-size="13" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">行列で送った先</text><text x="530" y="288" font-size="12" fill="#8a8a8a" text-anchor="middle">面積は行列式の 3</text></svg>

図の行列は列が $(2,1)$ と $(1,2)$ のもので、正方形が平行四辺形に変わった。この平行四辺形の面積が行列式である。

計算例: 90 度の回転

平面を原点のまわりに 90 度回すのは、次の行列である。

$$A=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right),v=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)$$

$$Av=\left(\begin{array}{c}0\times 2+(-1)\times 1\\ 1\times 2+0\times 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right)$$

$(2,1)$ が $(-1,2)$ へ移った。列を見ると $(1,0)$ が $(0,1)$ へ、$(0,1)$ が $(-1,0)$ へ送られている。

計算例: $x$ 軸に関する対称移動

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right),v=\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)$$

$$Av=\left(\begin{array}{c}1\times 3+0\times 2\\ 0\times 3+(-1)\times 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ -2\end{array}\right)$$

$y$ 成分の符号だけが変わった。$x$ 軸をはさんで折り返す動きになっている。

計算例: せん断

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right),v=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right)$$

$$Av=\left(\begin{array}{c}1\times 2+1\times 3\\ 0\times 2+1\times 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)$$

高さ $y$ はそのままで、$x$ が $y$ の分だけ横へずれた。トランプの束を斜めに押したときの形が近い。

連立方程式を行列とベクトルの積で書く

2 元 1 次の連立方程式は次の形をしている。

$$\{\begin{array}{l}ax+by=p\\ cx+dy=q\end{array}$$

左辺は $Av$ の成分そのものである。係数を並べた行列を $A$、未知数を並べたベクトルを $v$、右辺を $u$ とおく。

$$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right),v=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right),u=\left(\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right)$$

すると 2 本あった式が 1 本にまとまる。

$$Av=u$$

連立方程式を解くとは、$A$ と $u$ から $v$ を求めることである。大学の線形代数はここを出発点にする。

計算例: 連立方程式を行列で書き直す

$$\{\begin{array}{l}2x+3y=7\\ 4x+5y=13\end{array}$$

係数と右辺を読み取って並べるだけでよい。

$$A=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 4& 5\end{array}\right),u=\left(\begin{array}{c}7\\ 13\end{array}\right)$$

$$Av=\left(\begin{array}{c}2x+3y\\ 4x+5y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}7\\ 13\end{array}\right)=u$$

書き換えただけで、まだ何も解いていない。ここから先が逆行列の出番になる。

逆行列をかけて解く

実数の方程式 $3x=7$ は両辺を $3$ で割って解く。行列には割り算がないので、代わりに逆行列をかける。

$A^{-1}$ を $A$ の逆行列とすると、$Av=u$ の両辺に左からかけて次のように進む。

$$\begin{array}{rl}Av& =u\\ A^{-1}Av& =A^{-1}u\\ Iv& =A^{-1}u\\ v& =A^{-1}u\end{array}$$

3 行目で $A^{-1}A=I$ を使い、4 行目で $Iv=v$ を使った。単位行列の性質がここで効いている。

答えが $A^{-1}u$ という 1 つの式で書けた。あとは $A^{-1}$ を求めればよい。

2 次の逆行列の公式

2 次正方行列の逆行列で見たとおり、公式は次のとおりである。

$$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right),A^{-1}=\frac{1}{|A|}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$$

対角成分を入れ替え、残りの 2 つの符号を変えて、行列式 $|A|=ad-bc$ で割る。

$|A|=0$ のときは割れない。逆行列が存在しないので、この方法では解けなくなる。あとの節で扱う。

計算例: 逆行列で解く

さきほど書き直した連立方程式を最後まで解く。

$$A=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 4& 5\end{array}\right),u=\left(\begin{array}{c}7\\ 13\end{array}\right)$$

行列式は $|A|=2\times 5-3\times 4=-2$ である。公式にあてはめる。

$$A^{-1}=\frac{1}{-2}\left(\begin{array}{cc}5& -3\\ -4& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-\frac{5}{2}& \frac{3}{2}\\ 2& -1\end{array}\right)$$

これを $u$ にかける。

$$v=A^{-1}u=\left(\begin{array}{c}-\frac{5}{2}\times 7+\frac{3}{2}\times 13\\ 2\times 7+(-1)\times 13\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)$$

第 1 成分は $-\frac{35}{2}+\frac{39}{2}=2$、第 2 成分は $14-13=1$ である。

$x=2$, $y=1$ をもとの式へ戻すと $2\times 2+3\times 1=7$、$4\times 2+5\times 1=13$ となる。両方とも合っている。

計算例: 行列式が 1 の場合

$$\{\begin{array}{l}3x+5y=11\\ x+2y=4\end{array}$$

$$A=\left(\begin{array}{cc}3& 5\\ 1& 2\end{array}\right),u=\left(\begin{array}{c}11\\ 4\end{array}\right)$$

$|A|=3\times 2-5\times 1=1$ なので、割り算が要らない。

$$A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& -5\\ -1& 3\end{array}\right)$$

$$v=A^{-1}u=\left(\begin{array}{c}2\times 11+(-5)\times 4\\ (-1)\times 11+3\times 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)$$

$x=2$, $y=1$ である。検算すると $3\times 2+5\times 1=11$、$2+2=4$ で正しい。

計算例: 解が分数になる場合

$$\{\begin{array}{l}x+2y=3\\ 3x+y=5\end{array}$$

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 1\end{array}\right),u=\left(\begin{array}{c}3\\ 5\end{array}\right)$$

$|A|=1\times 1-2\times 3=-5$ である。分数は行列の外に出したまま進める。

$$A^{-1}=\frac{1}{-5}\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ -3& 1\end{array}\right)$$

$$v=\frac{1}{-5}\left(\begin{array}{c}1\times 3+(-2)\times 5\\ (-3)\times 3+1\times 5\end{array}\right)=\frac{1}{-5}\left(\begin{array}{c}-7\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{7}{5}\\ \frac{4}{5}\end{array}\right)$$

検算は $\frac{7}{5}+\frac{8}{5}=3$、$\frac{21}{5}+\frac{4}{5}=5$ となる。解が整数にならなくても手順は変わらない。

連立方程式は 2 直線の交点

2 元 1 次方程式 $ax+by=p$ は、平面上の 1 本の直線を表す。連立方程式は、2 本の直線を同時に満たす点を探している。

<svg viewBox="0 0 660 320" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:100%;height:auto;display:block;margin:0 auto"><line x1="118" y1="235" x2="503" y2="235" stroke="#8a8a8a" stroke-width="1"/><line x1="200" y1="323" x2="200" y2="37" stroke="#8a8a8a" stroke-width="1"/><text x="186" y="253" font-size="11" fill="#8a8a8a">O</text><line x1="145" y1="70" x2="475" y2="290" stroke="#1b81e0" stroke-width="2"/><line x1="145" y1="48" x2="475" y2="312" stroke="#1b81e0" stroke-width="2" stroke-dasharray="5 3"/><circle cx="310" cy="180" r="4" fill="#1b81e0"/><text x="320" y="172" font-size="12" fill="#1b81e0">(2, 1)</text><line x1="520" y1="86" x2="550" y2="86" stroke="#1b81e0" stroke-width="2"/><text x="558" y="90" font-size="12" fill="#1f1f1f">2x + 3y = 7</text><line x1="520" y1="112" x2="550" y2="112" stroke="#1b81e0" stroke-width="2" stroke-dasharray="5 3"/><text x="558" y="116" font-size="12" fill="#1f1f1f">4x + 5y = 13</text></svg>

交点は $(2,1)$ で、逆行列で求めた解と一致する。解が 1 つに決まるのは、2 直線が平行でないときである。

この「平行でない」を係数だけで判定するのが行列式になる。

計算例: 行列式が 0 で解がない

$$\{\begin{array}{l}2x+4y=5\\ x+2y=1\end{array}$$

$$A=\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ 1& 2\end{array}\right)$$

$|A|=2\times 2-4\times 1=0$ である。逆行列がないので、公式は使えない。

式そのものを見ると理由がわかる。上の式を $2$ で割ると $x+2y=\frac{5}{2}$ となり、下の式 $x+2y=1$ と食い違う。

同じ $x+2y$ が $\frac{5}{2}$ にも $1$ にもなることはない。よって解は存在しない。

計算例: 行列式が 0 で解が無数にある

$$\{\begin{array}{l}2x+4y=6\\ x+2y=3\end{array}$$

係数行列はさきほどと同じで $|A|=0$ である。変わったのは右辺だけになる。

上の式を $2$ で割ると $x+2y=3$ になり、下の式と完全に一致する。2 本あるように見えて、条件は 1 本しかない。

$y=t$ とおくと $x=3-2t$ である。解は次の形で無数にある。

$$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3-2t\\ t\end{array}\right)$$

$t=0$ なら $(3,0)$、$t=1$ なら $(1,1)$ となる。どちらももとの 2 式を満たしている。

行列式が 0 のとき列に何が起きているか

列の一次結合という読み方に戻る。$Av=u$ は、$A$ の 2 本の列を組み合わせて $u$ を作れという要求である。

$$x{\vec{a}}_1+y{\vec{a}}_2=u$$

$|A|=0$ のとき、2 本の列は平行になる。さきほどの例では列が $(2,1)$ と $(4,2)$ で、後者は前者のちょうど $2$ 倍だった。

平行な 2 本をどう組み合わせても、原点を通る 1 本の直線の上しか作れない。届く先が平面全体から直線へ落ちてしまう。

$|A|\ne 0$ なら列は平行でなく、2 本で平面全体を張る。だからどんな $u$ に対しても解が 1 つに決まる。

行列式が 0 のときの 2 直線

さきほどの 2 つの例を直線として描くと、違いがはっきりする。

<svg viewBox="0 0 700 306" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:100%;height:auto;display:block;margin:0 auto"><line x1="91" y1="200" x2="287" y2="200" stroke="#8a8a8a" stroke-width="1"/><line x1="175" y1="256" x2="175" y2="96" stroke="#8a8a8a" stroke-width="1"/><line x1="91" y1="123" x2="287" y2="221" stroke="#1b81e0" stroke-width="2"/><line x1="91" y1="144" x2="287" y2="242" stroke="#1b81e0" stroke-width="2"/><text x="175" y="34" font-size="13" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">平行 — 解なし</text><text x="175" y="56" font-size="12" fill="#8a8a8a" text-anchor="middle">2x + 4y = 5 と x + 2y = 1</text><text x="175" y="288" font-size="12" fill="#8a8a8a" text-anchor="middle">交わる点がない</text><line x1="441" y1="200" x2="637" y2="200" stroke="#8a8a8a" stroke-width="1"/><line x1="525" y1="256" x2="525" y2="96" stroke="#8a8a8a" stroke-width="1"/><line x1="441" y1="116" x2="637" y2="214" stroke="#a8d2f5" stroke-width="8"/><line x1="441" y1="116" x2="637" y2="214" stroke="#1b81e0" stroke-width="2"/><text x="525" y="34" font-size="13" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">重なる — 解が無数</text><text x="525" y="56" font-size="12" fill="#8a8a8a" text-anchor="middle">2x + 4y = 6 と x + 2y = 3</text><text x="525" y="288" font-size="12" fill="#8a8a8a" text-anchor="middle">直線上のすべてが解</text></svg>

左は交わらないので解がなく、右は重なっているので直線上の点すべてが解になる。行列式が $0$ になるのは、この 2 つの場合だけである。

逆行列を使う利点

代入法や加減法でも連立方程式は解ける。それでも逆行列を使うのは、右辺だけが違う問題をまとめて処理できるからである。

$A$ が同じなら $A^{-1}$ は 1 度求めれば足りる。あとは $u$ を差し替えて $A^{-1}u$ を計算するだけで済む。

未知数が増えても形は変わらない。$n$ 元の連立方程式が $Av=u$ の 1 本で書け、解は $v=A^{-1}u$ で表される。

計算例: 右辺だけ変えて 2 回解く

さきほど求めた逆行列をそのまま使い回す。

$$A=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 4& 5\end{array}\right),A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-\frac{5}{2}& \frac{3}{2}\\ 2& -1\end{array}\right)$$

右辺を $u=(1,0)$ とすると、解は $A^{-1}$ の 1 列目そのものになる。

$$v=\left(\begin{array}{c}-\frac{5}{2}\times 1+\frac{3}{2}\times 0\\ 2\times 1+(-1)\times 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-\frac{5}{2}\\ 2\end{array}\right)$$

検算すると $2\times \left(-\frac{5}{2}\right)+3\times 2=-5+6=1$、$4\times \left(-\frac{5}{2}\right)+5\times 2=-10+10=0$ である。

右辺を $u=(0,1)$ に変えると、今度は 2 列目が出てくる。

$$v=\left(\begin{array}{c}\frac{3}{2}\\ -1\end{array}\right)$$

こちらも $2\times \frac{3}{2}+3\times (-1)=0$、$4\times \frac{3}{2}+5\times (-1)=1$ で合っている。逆行列を 1 度作れば、右辺がどう変わってもかけ算 1 回で解が出る。

計算例: 代入法と突き合わせる

逆行列で解いた $2x+3y=7$, $4x+5y=13$ を、中学以来の代入法でも解いてみる。

上の式から $x=\frac{7-3y}{2}$ を得る。これを下の式へ入れる。

$$4\times \frac{7-3y}{2}+5y=13$$

左辺を整理すると $2(7-3y)+5y=14-y$ である。$14-y=13$ から $y=1$ となる。

$y=1$ を戻すと $x=\frac{7-3}{2}=2$ である。逆行列で求めた $(2,1)$ と一致した。

答えは同じでも手順が違う。代入法は式を 1 本ずつ崩していき、逆行列は最初から 2 本まとめて扱う。

よくある誤り

最後に、間違えやすい点を並べておく。

どれも定義に戻れば防げる。$Av$ の各成分が何と何の内積なのかを、その場で書き出すのが確実である。

参考文献