中1数学・文字式の利用〜3つの連続する整数の和が3の倍数であることの証明

中 1 数学の「文字式の利用」で「3 つの連続する和」に関する文章題があります。

命題
$3$ つの連続する整数の和は $3$ の倍数になる。

中 1 数学の中間・期末試験ではこの命題の証明問題がよく出ます。証明に入る前に、命題が正しいことを確認しましょう。

「$3$ つの連続する整数の和は $3$ の倍数になる」は正しい

$$1+2+3=6=2\times 3$$ $$12+13+14=39=13\times 3$$ $$56+57+58=171=57\times 3$$

命題が正しいですね。和はいつも中央の数の $3$ 倍になっています。

証明

$3$ つの連続する整数を $a,a+1,a+2$ とすると、これらの和 $S$ は

\begin{eqnarray*} S&=&a+(a+1)+(a+2)\\ &=&3a+3\\ &=&3(a+1) \end{eqnarray*}

となり $a+1$ を $3$ 倍した数となります。よって $3$ つの連続する整数の和は $3$ の倍数になります。$a+1$ は $a,a+1,a+2$ の真ん中の数ですね。

奇数、3の倍数、2桁の自然数などのnを使った表し方

証明その2

$3$ つの連続する整数を $a-1,a,a+1$ とします。和 $S$ は

\begin{eqnarray*} S&=&(a-1)+a+(a+1)\\ &=&3a \end{eqnarray*}

となり $a$ を $3$ 倍した数となります。よって $3$ つの連続する整数の和は $3$ の倍数になります。

どちらの証明も試験では正解ですが、後者の証明のほうがスマートです。

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