例題 ある整数の各位の和は $13$ である。また十の位と一の位を入れかえた数は、もとの整数の $2$ 倍より $4$ 小さい。 $(1)$ 十の位を $x$ 、一の位を $y$ として、もとの整数を文字式で表しなさい。 $(2)$ 問題に合うように連立方程式をつくりなさい。 $(3)$ もとの整数を求めなさい。
$(1)$ \[ 10x+y \]
$(2)$ 十の位を $x$ 、一の位を $y$ とすると、各位の和は $x+y$ であり、問題から $13$ である。したがって \[ x+y=13 \] となる。またもとの整数の十の位と一の位を入れかえた整数は $yx$ であり、文字式で表すと $10y+x$ である。この入れかえた整数はもとの整数の $2$ 倍より $4$ 小さいから \[ 10y+x=2(10x+y)-4 \] となる。したがって求める連立方程式は \[ \left\{ \begin{array}{l} x+y=13\\ 10y+x=2(10x+y)-4 \end{array} \right. \] となる。
ポイントを整理します。十の位を $x$ 、一の位を $y$ とすると
もとの数 … $xy$
入れかえた数 … $yx$
であり、文字式で表すと
もとの数 … $10x+y$
入れかえた数 … $10y+x$
となります。
$(3)$ \[ \left\{ \begin{array}{l} x+y=13\\ 10y+x=2(10x+y)-4 \end{array} \right. \] \[ \left\{ \begin{array}{l} x+y=13\\ 10y+x=20x+2y-4 \end{array} \right. \] \[ \left\{ \begin{array}{l} x+y=13\\ 8y=19x-4 \end{array} \right. \] 上の式を $y$ の式にする。 \[ \left\{ \begin{array}{l} y=-x+13\\ 8y=19x-4 \end{array} \right. \] 上の式を下の式に代入する。 \[ 8(-x+13)=19x-4 \] \[ -8x+104=19x-4 \] \[ -27x=-108 \] \[ 27x=108 \] \[ x=4 \] もとの連立方程式の最初の式 $x+y=13$ から \[ y=13-4=9 \] となる。以上からもとの整数は $49$ である。
