高斯-约当消元法是求解线性方程组的机械化步骤。把系数与右端项写进一张表（增广矩阵），之后只需反复使用三种操作：交换两行、把某一行除以一个数、从某一行减去另一行的若干倍。上面的动画就是把这些操作原样施加在你输入的数字上。
目标是让左半边变成单位矩阵。到那一步时，第 1 行只剩 x，第 2 行只剩 y，答案就留在最右边。路线始终不变：先把 x 的系数化为 1，再把另一行中的 x 消掉；接着对 y 做同样的事。不需要灵光一现，只需要顺序。
需要交换的时候，是即将化为 1 的位置上是 0：0 不能作除数，于是把下面的行提上来再继续。如果无论怎样变形左半边都成不了单位矩阵，解就不唯一。出现 0 = 3 这样矛盾的式子表示无解；某个方程塌缩成 0 = 0，则表示有无穷多解。这两种情形都可以用示例试试看。