La homología singular es una teoría de homología definida para todo espacio topológico. No necesita dividir el espacio en símplices, y espacios topológicamente iguales reciben los mismos grupos de homología.
La homología simplicial necesita una triangulación del espacio. La homología singular elimina ese requisito usando todas las aplicaciones continuas de un símplice en el espacio. Los grupos de cadenas se vuelven enormes, pero la invariancia topológica queda casi incluida en la definición, lo que convierte a la teoría en una base cómoda [1,2].
Las formas modelo son los símplices estándar. El n-símplice estándar es \Delta^n = \{ (t_0, \ldots, t_n) \in \mathbb{R}^{n+1} \mid t_i \geq 0, \sum_i t_i = 1 \}.
\Delta^0 es un punto, \Delta^1 un segmento, \Delta^2 un triángulo y \Delta^3 un tetraedro, con vértices e_0, \ldots, e_n.
Un n-símplice singular en un espacio X es una aplicación continua \sigma : \Delta^n \to X desde el símplice estándar.
La palabra singular es importante. La aplicación \sigma no tiene por qué ser inyectiva, y su imagen no tiene por qué parecer una figura de dimensión n. Una aplicación que dobla el triángulo, o una que lo envía todo a un solo punto, también es un símplice singular, y esa tolerancia es lo que libera a la teoría de las triangulaciones.
En dimensiones bajas, un 0-símplice singular es un punto de X, un 1-símplice singular es un camino en X y un 2-símplice singular es un triángulo llevado a X como una membrana.
La homología singular se construye con los mismos cuatro pasos que la simplicial: reunir las aplicaciones continuas desde los símplices estándar, formar con ellas grupos de cadenas, tomar bordes con el operador borde y dividir los ciclos por los bordes. Solo cambia el primer paso.
El grupo de cadenas singulares S_n(X) es el grupo abeliano libre que tiene como base todos los n-símplices singulares de X.
S_n(X) = \bigoplus_{\sigma : \Delta^n \to X} \mathbb{Z} \sigma
Sus elementos son sumas formales finitas \sum_i n_i \sigma_i con coeficientes enteros. Como toda aplicación continua es un elemento de la base, la base suele ser no numerable; aun así, al tomar homología el resultado es a menudo un grupo pequeño finitamente generado.
La i-ésima aplicación cara d_i : \Delta^{n-1} \to \Delta^n es la aplicación lineal que omite el vértice e_i y envía en orden los vértices de \Delta^{n-1} a los restantes. La composición \sigma \circ d_i es la i-ésima cara de \sigma.
El operador borde \partial_n : S_n(X) \to S_{n-1}(X) suma las caras con signos alternados.
\partial_n \sigma = \sum_{i=0}^{n} (-1)^i \sigma \circ d_i
Para un camino \sigma : \Delta^1 \to X se obtiene \partial_1 \sigma = \sigma(e_1) - \sigma(e_0), el punto final menos el punto inicial. Para un triángulo, las tres aristas aparecen con signos +, -, +, y juntas recorren una vez su borde.
Gracias a los signos alternados, el borde de un borde siempre se anula: \partial_{n-1} \circ \partial_n = 0. Esto se deduce de las identidades d_i \circ d_j = d_j \circ d_{i-1} para i > j, y toda la teoría descansa en ello.
El núcleo \ker \partial_n está formado por los ciclos y la imagen \mathrm{im} \partial_{n+1} por los bordes. Como \partial^2 = 0, todo borde es un ciclo y se puede tomar el cociente.
H_n(X) = \ker \partial_n / \mathrm{im} \partial_{n+1}
Un ciclo que está cerrado pero no es el borde de nada sobrevive como una clase de homología no trivial y detecta un agujero de dimensión n del espacio. El grupo H_n(X) es un invariante topológico: espacios homeomorfos tienen grupos de homología isomorfos.
Apliquemos la definición hasta el final al espacio más pequeño, un punto X = \{*\}. En cada dimensión hay exactamente una aplicación continua \Delta^n \to \{*\}, la aplicación constante \sigma_n, así que S_n(\{*\}) \cong \mathbb{Z} para todo n \geq 0.
Todas las caras de \sigma_n son iguales a \sigma_{n-1}, así que \partial_n \sigma_n = \sum_{i=0}^{n} (-1)^i \sigma_{n-1}. La suma de los signos es 0 para n impar y 1 para n > 0 par, de modo que las aplicaciones borde alternan entre cero y la identidad.
H_0(\{*\}) \cong \mathbb{Z}, \quad H_n(\{*\}) = 0 \quad (n \geq 1)
El hecho evidente de que un punto no tiene agujeros de dimensión mayor sale de la definición, y este cálculo sirve de referencia para cualquier otro espacio.
Para cualquier espacio X, el grupo H_0(X) es abeliano libre con un \mathbb{Z} por cada componente conexa por caminos, así que H_0(X) \cong \mathbb{Z}^k cuando hay k componentes. La razón es el borde de un camino, el punto final menos el inicial: dos puntos pasan a ser iguales en homología exactamente cuando un camino los une.
En el espacio discreto X = \{p, q\} de dos puntos ningún camino une p y q, así que H_0(X) \cong \mathbb{Z}^2. En resumen, el rango de H_0 cuenta las piezas del espacio, mientras que H_1 detecta los lazos que no se pueden rellenar con una membrana.
El \mathbb{Z} que queda en H_0 de un punto estorba a menudo. La homología reducida \tilde H_n(X) quita una copia de él, de modo que H_0(X) \cong \tilde H_0(X) \oplus \mathbb{Z} para X no vacío y \tilde H_n(X) = H_n(X) para n \geq 1. Así, un punto tiene \tilde H_n = 0 en todos los grados.
La homología singular es incluso invariante por homotopía: si X \simeq Y, entonces H_n(X) \cong H_n(Y) para todo n [1]. En particular, un espacio contráctil como el disco D^n o \mathbb{R}^n tiene la homología de un punto.
Una aplicación continua f : X \to Y lleva cada símplice singular \sigma a f \circ \sigma. Esto conmuta con el operador borde e induce homomorfismos f_* : H_n(X) \to H_n(Y).
Se cumplen (g \circ f)_* = g_* \circ f_* y (\mathrm{id}_X)_* = \mathrm{id}, así que H_n es un funtor de los espacios topológicos en los grupos abelianos. Que un homeomorfismo induzca isomorfismos es la consecuencia más sencilla.
La herramienta principal para calcular homología es la sucesión de Mayer-Vietoris. Si X = U \cup V con U y V abiertos, sus grupos de homología quedan unidos por una sucesión exacta larga.
\cdots \to H_n(U \cap V) \to H_n(U) \oplus H_n(V) \to H_n(X) \to H_{n-1}(U \cap V) \to \cdots
Es la contrapartida homológica del teorema de van Kampen: el espacio entero se recupera a partir de dos piezas que se solapan y de su solapamiento, ahora en la forma lineal de una sucesión exacta.
Cubramos la circunferencia S^1 con un arco superior U y un arco inferior V con algo de margen. Ambos son contráctiles, y U \cap V son dos arcos disjuntos, homotópicamente equivalentes a dos puntos. En homología reducida la sucesión queda 0 \to \tilde H_1(S^1) \to \tilde H_0(U \cap V) \to 0 con \tilde H_0(U \cap V) \cong \mathbb{Z}, así que H_1(S^1) \cong \mathbb{Z}, generado por el lazo que da una vuelta.
El mismo cálculo funciona para la esfera S^n. Cubrámosla con los hemisferios superior e inferior algo ampliados. Ambos son contráctiles, y su intersección es una banda alrededor del ecuador, homotópicamente equivalente a S^{n-1}.
La sucesión de Mayer-Vietoris en homología reducida da entonces \tilde H_k(S^n) \cong \tilde H_{k-1}(S^{n-1}) para todo k, lo que sube la dimensión de uno en uno. Partiendo de la circunferencia se obtiene lo siguiente para n \geq 1.
H_0(S^n) \cong \mathbb{Z}, \quad H_n(S^n) \cong \mathbb{Z}, \quad H_k(S^n) = 0 \quad (k \neq 0, n)
Solo aparece un \mathbb{Z} en los dos grados extremos. La clase de grado n es la esfera entera, un ciclo de dimensión n que no es borde de nada.
El toro T^2 = S^1 \times S^1 tiene dos lazos independientes, así que H_1 es \mathbb{Z}^2, y la superficie entera es un 2-ciclo que da H_2 \cong \mathbb{Z}.
H_0(T^2) \cong \mathbb{Z}, \quad H_1(T^2) \cong \mathbb{Z}^2, \quad H_2(T^2) \cong \mathbb{Z}
El plano proyectivo real \mathbb{RP}^2 se comporta de otra manera. Tiene un lazo a que no es un borde tras una vuelta pero sí lo es tras dos, porque el borde del disco es 2a. Esto aparece como torsión, un elemento de orden finito.
H_0(\mathbb{RP}^2) \cong \mathbb{Z}, \quad H_1(\mathbb{RP}^2) \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}, \quad H_2(\mathbb{RP}^2) = 0
El \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} de H_1 refleja que \mathbb{RP}^2 no es orientable. Con coeficientes enteros, la homología registra no solo cuántos agujeros hay, sino también este tipo de retorcimiento.
Para un espacio X conexo por caminos, el primer grupo de homología es el abelianizado del grupo fundamental [1].
H_1(X) \cong \pi_1(X)^{\mathrm{ab}}
En el grupo fundamental la composición de lazos no es conmutativa, pero la homología suma los lazos como ciclos orientados y así impone la conmutatividad. Para la figura ocho S^1 \vee S^1, \pi_1 es el grupo libre F_2 con ab \neq ba, pero ambos lazos dan el mismo ciclo a + b, y H_1 \cong \mathbb{Z}^2. Para el toro, \pi_1 \cong \mathbb{Z}^2 ya es abeliano y H_1 \cong \mathbb{Z}^2.
Para un par (X, A) con A \subseteq X, los grupos de cadenas relativas son S_n(X, A) = S_n(X) / S_n(A), y a partir de ellos se construyen del mismo modo los grupos de homología relativa H_n(X, A). Un ciclo relativo es una cadena cuyo borde está en A.
Para un buen par, en el que A es cerrado y retracto por deformación de un entorno, H_n(X, A) \cong \tilde H_n(X / A): la homología relativa es la homología del espacio con A reducido a un punto.
El par tiene una sucesión exacta larga que une la homología absoluta y la relativa.
\cdots \to H_n(A) \to H_n(X) \to H_n(X, A) \to H_{n-1}(A) \to \cdots
En una sucesión exacta, la imagen que entra en cada término coincide con el núcleo que sale, así que los términos conocidos determinan los desconocidos. Para el disco y su borde da H_n(D^n, S^{n-1}) \cong \tilde H_{n-1}(S^{n-1}), y como D^n / S^{n-1} es la esfera S^n, esto ofrece otro camino para calcular las esferas por inducción.
El segundo teorema básico junto a la sucesión exacta larga es la escisión. Sean U \subseteq A \subseteq X con la clausura de U contenida en el interior de A. Entonces, quitar U de ambos espacios no cambia la homología relativa.
H_n(X \setminus U, A \setminus U) \cong H_n(X, A)
Así, H_n(X, A) no ve lo que ocurre en lo profundo de A, y esa parte se puede recortar. La escisión es también el paso clave para deducir la sucesión de Mayer-Vietoris.
La homología también clasifica aplicaciones. Una aplicación continua f : S^n \to S^n induce f_* : H_n(S^n) \to H_n(S^n), y como H_n(S^n) \cong \mathbb{Z}, este homomorfismo es la multiplicación por un entero, el grado \deg f.
f_*(m) = (\deg f) m
El grado cuenta cuántas veces f enrolla la esfera sobre sí misma; en la circunferencia, z \mapsto z^k tiene grado k. La identidad tiene grado 1, una aplicación constante grado 0 y la aplicación antipodal x \mapsto -x grado (-1)^{n+1}. En la figura, un punto y recorre la circunferencia y se marcan los puntos que z \mapsto z^k envía a y; contándolos con el signo de la orientación se obtiene k, el grado.
Aplicaciones homotópicas tienen el mismo grado, así que el grado distingue clases de homotopía de aplicaciones. Se usa, por ejemplo, en demostraciones del teorema fundamental del álgebra y del teorema de la bola peluda.
Para un complejo simplicial K, la homología simplicial y la homología singular de su realización geométrica siempre coinciden: H_n^{\mathrm{simp}}(K) \cong H_n(|K|). Así, ambas se reparten el trabajo. Los números concretos salen de la homología simplicial, con un número finito de símplices y matrices enteras, y los argumentos teóricos usan la homología singular, con sus buenas propiedades.
La figura reúne los grupos calculados. Todos estos espacios son conexos por caminos, así que cada H_0 es \mathbb{Z}. El lazo de S^1, la cavidad de S^2, los dos lazos y la superficie de T^2 y la torsión de \mathbb{RP}^2 se ven en los grupos.
La funtorialidad, la invariancia homotópica, la sucesión exacta larga de un par y la escisión, junto con el axioma de dimensión, según el cual un punto tiene homología \mathbb{Z} solo en grado 0, forman los axiomas de Eilenberg-Steenrod de una teoría de homología [3]. La homología singular es el modelo estándar que los cumple, y su coincidencia con la homología simplicial en complejos finitos se deduce de ellos.