El teorema de van Kampen calcula el grupo fundamental de un espacio dividiéndolo en piezas. Si un espacio complicado se puede escribir como unión de piezas abiertas más sencillas, su grupo fundamental se puede montar algebraicamente a partir de los grupos fundamentales de las piezas.
Recordemos que el grupo fundamental \pi_1(X, x_0) está formado por los lazos que salen del punto base x_0 y vuelven a él, donde dos lazos cuentan como el mismo cuando uno se puede deformar de manera continua en el otro. Registra cómo se enrollan los lazos alrededor de los agujeros de X, pero calcularlo directamente a partir de la definición es difícil.
La clave está en cómo se solapan las piezas. Un lazo que recorre todo el espacio pasa de una pieza a la otra, y la información sobre esos pasos la lleva el grupo fundamental de la intersección. La elección de la intersección decide lo difícil que será el cálculo.
El teorema se remonta a Herbert Seifert [1] y Egbert van Kampen [2] a comienzos de la década de 1930, y por eso también se llama teorema de Seifert-van Kampen.
Sea X = U_1 \cup U_2, donde U_1 y U_2 son abiertos de X. Supongamos que U_1, U_2 y U_1 \cap U_2 son conexos por caminos, y tomemos el punto base x_0 en U_1 \cap U_2.
Entonces el grupo fundamental de X es el producto amalgamado de los grupos fundamentales de las dos piezas sobre el grupo fundamental de su intersección [3].
\pi_1(X, x_0) \cong \pi_1(U_1, x_0) *_{\pi_1(U_1 \cap U_2, x_0)} \pi_1(U_2, x_0)
La idea es que todo lazo en X se puede cortar en arcos contenidos en U_1 y arcos contenidos en U_2, con los puntos de corte en la intersección. Al unir cada punto de corte con x_0 mediante un camino dentro de U_1 \cap U_2, cada arco se convierte en un lazo de una de las piezas, y el producto amalgamado registra cómo encajan esos lazos en los puntos de corte.
Si la intersección no fuera conexa por caminos, los puntos de corte no se podrían unir con x_0 dentro de ella y el teorema fallaría. Por eso hacen falta las hipótesis.
Supongamos dados los grupos G_1, G_2 y H, junto con homomorfismos i_1 : H \to G_1 e i_2 : H \to G_2. En el teorema de van Kampen los inducen las inclusiones de la intersección, y no tienen por qué ser inyectivos.
El producto amalgamado G_1 *_H G_2 se caracteriza por una propiedad universal: todo par de homomorfismos de G_1 y G_2 en un grupo G que coinciden sobre H se factoriza a través de G_1 *_H G_2 de una única manera.
Para calcular son más útiles las presentaciones. Si G_1 = \langle S_1 \mid R_1 \rangle y G_2 = \langle S_2 \mid R_2 \rangle, el producto amalgamado tiene la siguiente presentación.
G_1 *_H G_2 = \langle S_1, S_2 \mid R_1, R_2, i_1(h) = i_2(h) \quad (h \in H) \rangle
Es decir, se reúnen todos los generadores y relaciones de ambos grupos y se añaden relaciones que dicen que un elemento de H es el mismo tanto si se lee en G_1 como en G_2. Basta una relación por cada generador de H, y esas relaciones son las restricciones que aporta la intersección.
El caso más sencillo es cuando la intersección es simplemente conexa, es decir, \pi_1(U_1 \cap U_2) = 0. Entonces H es el grupo trivial, no se añade ninguna relación y el producto amalgamado se reduce al producto libre.
\pi_1(X) \cong \pi_1(U_1) * \pi_1(U_2)
El producto libre G_1 * G_2 está formado por palabras que alternan elementos de G_1 y de G_2, y no se impone ninguna relación salvo cancelar letras vecinas. La figura muestra \mathbb{Z} * \mathbb{Z}: el camino de la palabra a b a^{-1} b^{-1} no vuelve al punto de partida.
Así, todo depende de si el grupo fundamental de la intersección es trivial. Si lo es, se obtiene un producto libre, adecuado para las sumas en cuña de circunferencias. Si no lo es, se obtiene un producto amalgamado con relaciones adicionales, que es lo que necesitan las superficies.
Todos los ejemplos siguientes siguen los mismos tres pasos. Primero, dividir el espacio en dos abiertos conexos por caminos. Segundo, hallar los grupos fundamentales de cada abierto y de su intersección. Tercero, llevarlos a la presentación del producto amalgamado y leer las relaciones.
Hay tres piezas básicas que aparecen una y otra vez. La circunferencia tiene \pi_1(S^1) \cong \mathbb{Z}, generado por el lazo que da una vuelta, y cada elemento se cuenta por su número de vueltas.
Un espacio contráctil, como un disco, se reduce a un punto y tiene grupo fundamental trivial, así que aporta un factor trivial. Una esfera S^n con n \geq 2 también es simplemente conexa y no aporta nada a los grupos fundamentales.
Comprobemos que S^n con n \geq 2 es simplemente conexa. Tomemos como U_1 la esfera sin el polo norte y como U_2 la esfera sin el polo sur. Por la proyección estereográfica, ambos son homeomorfos a \mathbb{R}^n, así que ambos son contráctiles.
La intersección es la esfera sin dos puntos, que es homotópicamente equivalente a S^{n-1}. Para n \geq 2 es conexa por caminos, así que el teorema se aplica y da \pi_1(S^n) \cong 0 *_{\pi_1(S^{n-1})} 0 = 0.
Para n = 1 la intersección es una circunferencia sin dos puntos, es decir, dos arcos disjuntos. No es conexa por caminos y el teorema no se puede usar en esta forma. Justo ahí es donde la circunferencia, con \pi_1(S^1) \cong \mathbb{Z}, escapa al argumento.
Consideremos la suma en cuña de dos circunferencias S^1 \vee S^1, la figura ocho. Sea U_1 una de las circunferencias junto con un pequeño entorno abierto del punto de unión, y U_2 la otra con un entorno parecido. Cada uno se retrae por deformación sobre su circunferencia, y la intersección es una pequeña cruz alrededor del punto de unión, que es contráctil.
Con \pi_1(U_1) = \langle a \rangle \cong \mathbb{Z}, \pi_1(U_2) = \langle b \rangle \cong \mathbb{Z} y \pi_1(U_1 \cap U_2) = 0, aparece un producto libre.
\pi_1(S^1 \vee S^1) \cong \mathbb{Z} * \mathbb{Z} = \langle a, b \rangle = F_2
Es el grupo libre con dos generadores, y el mismo argumento da el grupo libre F_n para la suma en cuña de n circunferencias. Como no se añade ninguna relación, ab \neq ba: dar primero la vuelta a y después la b es un lazo distinto de dar primero la vuelta b.
Ahora viene un principio general en el que se basan todos los cálculos con superficies. Sea Y un espacio conexo por caminos y peguemos un disco e^2 a lo largo de un lazo \gamma : S^1 \to Y para obtener X = Y \cup_\gamma e^2.
Tomemos como U_1 el espacio X sin el centro del disco y como U_2 el disco abierto. Entonces U_1 se retrae por deformación sobre Y, U_2 es contráctil y la intersección es un disco perforado, homotópicamente equivalente a una circunferencia. Su generador se convierte en \gamma en U_1 y en el elemento trivial en U_2.
\pi_1(X) \cong \pi_1(Y) / \langle\langle \gamma \rangle\rangle
Aquí \langle\langle \gamma \rangle\rangle es el menor subgrupo normal que contiene a \gamma. Dicho con palabras, pegar una 2-celda anula el lazo que recorre su borde. En la figura, Y es un tubo y \gamma da una vuelta a su borde superior; al pegar el disco e^2 al borde, \gamma se vuelve trivial y el grupo fundamental pasa de \mathbb{Z} a 0. Muchas superficies son una suma en cuña de circunferencias con una 2-celda pegada, así que este principio basta para calcular sus grupos fundamentales.
El toro T^2 se obtiene de un cuadrado pegando los lados opuestos en el mismo sentido. Los cuatro lados se convierten en dos circunferencias a y b, y los cuatro vértices en un solo punto, así que T^2 es la figura ocho S^1 \vee S^1 con una 2-celda pegada.
El lazo de pegado da una vuelta al borde del cuadrado y lee la palabra a b a^{-1} b^{-1}, el conmutador [a, b]. Por el principio de la sección anterior, basta dividir F_2 = \langle a, b \rangle por esta palabra.
\pi_1(T^2) \cong \langle a, b \mid a b a^{-1} b^{-1} = 1 \rangle \cong \mathbb{Z}^2
La relación a b a^{-1} b^{-1} = 1 dice que ab = ba, así que los generadores conmutan y el grupo es \mathbb{Z}^2. Una sola relación de conmutador convierte el grupo libre no conmutativo F_2 en el grupo abeliano \mathbb{Z}^2.
El plano proyectivo real \mathbb{RP}^2 es un disco cuyos puntos del borde se pegan con sus puntos antipodales. Después del pegado, dar una vuelta a la circunferencia del borde recorre el lazo a exactamente dos veces.
Así, \mathbb{RP}^2 es la circunferencia S^1 = \langle a \rangle con una 2-celda pegada a lo largo de a^2, y se añade la relación a^2 = 1.
\pi_1(\mathbb{RP}^2) \cong \langle a \mid a^2 = 1 \rangle \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}
El grupo fundamental es finito de orden 2. El lazo a no se puede contraer tras una vuelta, pero tras dos vueltas es el borde del disco y se contrae. De aquí viene también la torsión \mathbb{Z}/2 de la homología de \mathbb{RP}^2.
La botella de Klein K se obtiene de un cuadrado pegando sus lados según la palabra a b a b^{-1}. Como en el toro, se pega una 2-celda a la figura ocho, pero la palabra de pegado ya no es un conmutador.
\pi_1(K) \cong \langle a, b \mid a b a b^{-1} = 1 \rangle
Este grupo no es abeliano, y al abelianizarlo se ve su forma. En notación aditiva la relación se convierte en a + b + a - b = 2a = 0, así que H_1(K) \cong \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}.
A diferencia del \mathbb{Z}^2 del toro, aparece una parte de torsión \mathbb{Z}/2, y el álgebra detecta que la botella de Klein no es orientable. En el propio grupo fundamental ab \neq ba; la falta de conmutatividad solo desaparece al abelianizar.
En los ejemplos de superficies vistos hasta ahora uno de los factores era contráctil, y el cálculo era en realidad un cociente. En el ejemplo siguiente ambos factores son no triviales y la amalgamación trabaja de verdad: la botella de Klein también es la unión de dos bandas de Möbius pegadas por sus circunferencias del borde.
Una banda de Möbius se retrae por deformación sobre su circunferencia central, así que su grupo fundamental es \mathbb{Z}. Llamemos u y v a los generadores de las dos bandas. El borde de una banda de Möbius da dos vueltas alrededor de la circunferencia central, así que la circunferencia de pegado se convierte en u^2 en la primera banda y en v^2 en la segunda.
\pi_1(K) \cong \langle u, v \mid u^2 = v^2 \rangle
Es otra presentación del mismo grupo que \langle a, b \mid a b a b^{-1} \rangle: tomando u = b y v = ab se pasa de una a otra. Los dos factores y la intersección son \mathbb{Z}, y las aplicaciones entre ellos multiplican por dos, que es donde se ve la amalgamación.
El cálculo del toro se extiende a género mayor. La superficie cerrada orientable \Sigma_g de género g se obtiene de un polígono de 4g lados pegándolos según la palabra [a_1, b_1] \cdots [a_g, b_g], y la figura muestra el caso g = 2. Es una suma en cuña de 2g circunferencias con una 2-celda pegada.
\pi_1(\Sigma_g) \cong \langle a_1, b_1, \ldots, a_g, b_g \mid [a_1, b_1] \cdots [a_g, b_g] = 1 \rangle
Aquí [a, b] = a b a^{-1} b^{-1} es el conmutador. Para g = 1 se obtiene el \mathbb{Z}^2 del toro. Para g \geq 2 una sola relación larga no basta para que los generadores conmuten, y el grupo no es abeliano.
Al abelianizar desaparecen todos los conmutadores, así que queda H_1(\Sigma_g) \cong \mathbb{Z}^{2g}, y el primer número de Betti de la superficie es 2g.
Los productos amalgamados no se limitan a las superficies. Un ejemplo en dimensión tres es el complemento de un nudo tórico. Veamos S^3 como dos toros sólidos V_1 y V_2 pegados por su toro frontera común. El nudo tórico K_{p,q} de tipo (p, q) está sobre ese toro.
Cortemos el complemento S^3 \setminus K_{p,q} en su parte del lado de V_1 y su parte del lado de V_2. Cada toro sólido sin el nudo sigue retrayéndose por deformación sobre su circunferencia central, así que cada parte tiene grupo fundamental \mathbb{Z}. La intersección es el toro frontera sin el nudo, un anillo, de nuevo con grupo \mathbb{Z}.
La circunferencia central de ese anillo da p vueltas alrededor de la de V_1 y q vueltas alrededor de la de V_2, así que su generador se convierte en a^p de un lado y en b^q del otro [3].
\pi_1(S^3 \setminus K_{p,q}) \cong \langle a, b \mid a^p = b^q \rangle
El trébol de la figura es el nudo tórico de tipo (2, 3), así que su grupo es \langle a, b \mid a^2 = b^3 \rangle. Las aplicaciones desde la intersección vuelven a ser potencias, como en el ejemplo de las bandas de Möbius, ahora con una dimensión más.
La figura ordena los resultados según el tipo de grupo, desde el grupo trivial a la izquierda hasta el grupo libre a la derecha. Una intersección simplemente conexa da un producto libre y una no trivial da un producto amalgamado, y esta distinción recorre todos los ejemplos.
De un solo teorema han salido grupos de naturaleza muy distinta: el grupo trivial, grupos libres, grupos abelianos y grupos no abelianos. Esa variedad es la fuerza del teorema de van Kampen.
El teorema también vale para más de dos abiertos. Sea X la unión de abiertos conexos por caminos U_\alpha, cada uno de los cuales contiene el punto base x_0.
Si toda intersección U_\alpha \cap U_\beta de dos abiertos es conexa por caminos, el homomorfismo del producto libre de los grupos \pi_1(U_\alpha) en \pi_1(X) es sobreyectivo. Si además toda intersección de tres abiertos es conexa por caminos, su núcleo es el subgrupo normal generado por los elementos que identifican las dos imágenes de cada elemento de \pi_1(U_\alpha \cap U_\beta) [3].
Qué abiertos se cortan con cuáles lo registra el nervio del recubrimiento, un complejo simplicial con un vértice por cada abierto, una arista por cada intersección no vacía de dos abiertos y un triángulo por cada intersección no vacía de tres. En la práctica, se corta un espacio complicado en abiertos sencillos, se observa cómo se solapan y a partir de ahí se monta el grupo fundamental.