落ちる距離は時間の 2 乗で伸びる（自由落下と重力加速度 g の式）

手に持ったボールを静かに離すと、速さが一定の割合で増えていきます。$1$ 秒ごとに増える速さが重力加速度で、記号は $g$ を使う。

地表付近では、およそ $9.8m/{\mathrm{s}}^2$ です。$1$ 秒たつごとに速さが $9.8m/s$ ずつ上乗せされていく。

投げ下ろしたわけではないので、離した瞬間の速さは $0$ です。そこから毎秒 $9.8$ ずつ増えるだけの、単純な等加速度運動になる。

標準重力加速度という決めた値

$9.8$ は測って得た値で、場所によって違う。国際的な基準としては、次の値が定められている。

$$g_n=9.80665m/{\mathrm{s}}^2$$

この数字は $1901$ 年の第 $3$ 回国際度量衡総会が採択したものです^[1]。緯度 $45$ 度の海面での自由落下をもとにしている。

高校物理では $9.8$ に丸めて使う。有効数字 $2$ 桁の計算なら、それで十分な精度が出る。

g は場所によって変わる

地球は完全な球ではなく、しかも自転している。そのため $g$ の値は場所ごとに違う^[2]。

高いところへ行くほど小さくなります。海面から $9000\mathrm{m}$ 上がると、およそ $0.29$ パーセント減る。

国際宇宙ステーションの高度 $400\mathrm{km}$ でも、地表の $90$ パーセント近くが残っています。宇宙飛行士が浮いて見えるのは、重力が消えたからではない。ステーションごと落ち続けているから。

速度の公式

加速度が一定なので、速さは時間に比例して増える。

$$v=gt$$

初速度が $0$ の場合の式です。$t$ 秒後の速さは、$9.8$ に $t$ を掛けるだけで求まる。

グラフに描けば原点を通る直線になる。傾きが $g$ そのもの。

例：落としてから 3 秒後の速さ

$$v=9.8\times 3.0=29.4m/s$$

時速に直すとおよそ $106km/h$ です。$3$ 秒でこの速さに達する。

$10$ 秒後なら $98m/s$ になります。空気の抵抗がなければ、という条件つきの値。

速度と時間のグラフでは面積が距離

速さが変わらない運動では、進んだ距離は速さと時間の積です。速度と時間のグラフで言えば、長方形の面積にあたる。

速さが変わる場合も同じことが成り立ちます。グラフの下の面積が、そのまま進んだ距離になる。

自由落下のグラフは直線なので、面積は三角形です。底辺が時間 $t$、高さが速さ $gt$。

距離の公式

三角形の面積は、底辺と高さを掛けて $2$ で割ったものです。

$$y=\frac{1}{2}\times t\times gt=\frac{1}{2}g{t}^2$$

落ちた距離は時間の $2$ 乗に比例する。時間が $2$ 倍なら距離は $4$ 倍になる。

速さが時間に比例して増えるため、後半ほど稼ぐ距離が伸びるという事情です。

例：3 秒で落ちる距離

$$y=\frac{1}{2}\times 9.8\times 3.0^2=44.1\mathrm{m}$$

$1$ 秒間では $4.9\mathrm{m}$、$2$ 秒間では $19.6\mathrm{m}$ です。$1$ 秒ごとに落ちる距離は $4.9$、$14.7$、$24.5$ と増えていく。

差が $9.8$ ずつ広がっている点が、$2$ 乗の効き方をよく表している。

時間を消した式

$v=gt$ から $t=v/g$ とし、これを $y=\frac{1}{2}g{t}^2$ に代入する。

$$y=\frac{1}{2}g{\left(\frac{v}{g}\right)}^2=\frac{v^2}{2g}$$

整理すると、時間の出てこない関係が得られる。

$$v^2=2gy$$

高さがわかっていて時間がわからない問題では、この形がいちばん早い。落下時間を経由せずに速さが出ます。

例：20 m の高さから落とす

$$v=\sqrt{2\times 9.8\times 20}=\sqrt{392}=19.8m/s$$

時速でおよそ $71km/h$ です。ビルの $6$ 階ほどの高さで、この速さに達する。

高さを $4$ 倍の $80\mathrm{m}$ にしても、速さは $2$ 倍にしかなりません。速さが高さの平方根に比例するため。

落下時間の求め方

$y=\frac{1}{2}g{t}^2$ を $t$ について解くと、落下時間が出る。

$$t=\sqrt{\frac{2y}{g}}$$

こちらも平方根です。高さを $4$ 倍にしても、かかる時間は $2$ 倍にとどまる。

$45\mathrm{m}$ なら $t=\sqrt{90/9.8}=3.0\mathrm{s}$ になります。

質量が出てこない理由

これまでの式に質量が一度も現れていません。軽い物体も重い物体も、同じ速さで落ちる。

理由は運動方程式にある。重力の大きさは $mg$ で質量に比例しますが、動かしにくさもまた質量に比例する。

$$ma=mg⟹a=g$$

両辺の $m$ が消えて、加速度が $g$ だけで決まる。ガリレオが $1604$ 年に到達した結論で、重い物体ほど速く落ちるとしたアリストテレスの説を覆しました。

初速度があるとき

投げ下ろしたり投げ上げたりした場合は、初速度 $v_0$ を足すだけです。上向きを正にとると、次の形になる。

$$\begin{array}{rl}v& =v_0-gt\\ y& =v_{0}t-\frac{1}{2}g{t}^2\end{array}$$

負号は、重力が下向きに働くことを表している。投げ下ろす場合は $v_0$ を負にとればよい。

時間を消した式も同じように書けます。

$$v^2-v_0^2=-2gy$$

例：真上に投げ上げる

$19.6m/s$ で真上に投げます。最高点では速さが $0$ になる。

$$0=19.6-9.8t⟹t=2.0\mathrm{s}$$

そのときの高さは $v^2=2gy$ から求まる。

$$y=\frac{19.6^2}{2\times 9.8}=19.6\mathrm{m}$$

落ちてくるのにも $2.0$ 秒かかり、戻ってきたときの速さは $19.6m/s$ です。上りと下りが時間も速さも対称になる。

空気の抵抗があると終端速度に達する

実際の落下では、空気の抵抗が働きます。速さが増えるほど抵抗も増え、やがて重力と釣り合う。

釣り合った時点で加速度が $0$ になり、速さはそれ以上増えません。この一定の速さを終端速度といいます。

終端速度は物体によって違う。重さと断面積の比で決まるため、羽根は遅く、鉄球は速く落ちます。

真空にすれば差は消えます。羽根と鉄球を真空管の中で同時に落とすと、同じ速さで底に着く。

例：落下時間から高さを測る

井戸に石を落として、水面に届くまでの時間を測る方法があります。$2.0$ 秒かかったとする。

$$y=\frac{1}{2}\times 9.8\times 2.0^2=19.6\mathrm{m}$$

音が戻ってくる時間を含めると、実際にはもう少し浅くなります。音速 $340m/s$ で $19.6\mathrm{m}$ を戻るのに $0.06$ 秒ほどかかる。

精度を上げたいなら、この往復を式に組み込む必要がある。落下の時間と音の時間の和が $2.0$ 秒になるように解きます。

出典