運動エネルギーと位置エネルギーを仕事から組み立てる

物体に力 $F$ を加えて、その向きに距離 $s$ だけ動かしたとき、力がした仕事を次の式で定めます。

$$W=Fs$$

単位はジュール J です。$1\mathrm{N}$ の力で $1\mathrm{m}$ 動かせば $1\mathrm{J}$。

エネルギーとは、仕事をする能力のことを指す。だからエネルギーの単位も J になる。

運動エネルギーは仕事から出てくる

静止した質量 $m$ の物体に一定の力 $F$ を加え、速さ $v$ になるまで加速させます。このとき力がした仕事を計算する。

加速度は $a=F/m$ で、等加速度運動の式から距離が出る。

$$v^2=2as⟹s=\frac{v^2}{2a}$$

これを $W=Fs$ に入れる。$F=ma$ なので $a$ が約分される。

$$W=ma\times \frac{v^2}{2a}=\frac{1}{2}m{v}^2$$

加えた仕事が、そのまま物体に蓄えられた形。この量を運動エネルギーといいます。

運動エネルギーの式

$$K=\frac{1}{2}m{v}^2$$

質量に比例し、速さの $2$ 乗に比例する量。向きを持たないスカラーなので、右へ動いても左へ動いても正の値をとる。

運動量 $p=mv$ を使うと、別の形にも書ける。

$$K=\frac{p^2}{2m}$$

運動量がわかっていて速さがわからない場面では、この形のほうが早い。

例：運動エネルギーを数値で出す

$2.0\mathrm{kg}$ の物体が $3.0m/s$ で動いています。

$$K=\frac{1}{2}\times 2.0\times 3.0^2=9.0\mathrm{J}$$

同じ物体が $6.0m/s$ になると $36\mathrm{J}$ になる。速さが $2$ 倍で、エネルギーは $4$ 倍です。

質量を $2$ 倍にした場合は $18\mathrm{J}$ で、こちらは $2$ 倍にとどまる。速さのほうがはるかによく効く。

速さの 2 乗が効く場面

自動車の事故が速度でひどくなる理由も、この $2$ 乗にある。速さが $1.4$ 倍でもエネルギーは $2$ 倍になる。

止まるまでに要る距離も同じ理屈で伸びる。ブレーキの摩擦力が一定なら、その力に距離を掛けたものが運動エネルギーと釣り合う。

$$fd=\frac{1}{2}m{v}^2⟹d=\frac{m{v}^2}{2f}$$

距離 $d$ は速さの $2$ 乗に比例します。速度を $2$ 倍にすると、止まるまでに $4$ 倍の距離が要る。

例：制動距離を計算する

$1200\mathrm{kg}$ の車が $20m/s$ で走り、摩擦力 $8200\mathrm{N}$ でブレーキをかけます。

$$K=\frac{1}{2}\times 1200\times 20^2=240000\mathrm{J}$$

これを摩擦力で割ると距離が出る。

$$d=\frac{240000}{8200}=29\mathrm{m}$$

速さを $40m/s$ にすると $117\mathrm{m}$ です。$2$ 倍の速さで $4$ 倍の距離を要する。

仕事とエネルギーの関係

力を加えたぶんだけ運動エネルギーが変わる、という形にまとめられます。

$$W=\frac{1}{2}m{v}^{\prime 2}-\frac{1}{2}m{v}^2$$

正の仕事をすれば速くなり、負の仕事をすれば遅くなる。ブレーキは進行方向と逆向きに力を加えるので、負の仕事をしています。

途中の経路や時間は式に出てきません。始めと終わりの速さだけで決まるところが、この関係の使いどころ。

位置エネルギー

高いところにある物体は、落ちる過程で仕事をする能力を持っています。この蓄えを位置エネルギーという。

質量 $m$ の物体を高さ $h$ まで持ち上げるには、重力 $mg$ に逆らって $h$ だけ動かす必要がある。

$$U=mgh$$

$g$ は重力加速度で、およそ $9.8m/{\mathrm{s}}^2$ です。単位を確かめると $\mathrm{kg}\cdot m/{\mathrm{s}}^2\cdot \mathrm{m}=\mathrm{J}$ となり、確かにエネルギーの単位になる。

基準のとり方は自由

$U=mgh$ の $h$ は、どこから測った高さなのかを決めないと値が定まりません。

地面でも、机の上でも、好きな高さを $0$ にとってよい。基準を変えれば $U$ の値は変わりますが、物理の結論は変わりません。

差だけが意味を持つ。「机から $1\mathrm{m}$ 上がった」という変化は、基準をどこにとっても同じ $mg\times 1$ になる。

無限に遠い点を基準にとる流儀もあり、そのときの位置エネルギーはつねに負の値になる。

例：位置エネルギーを数値で出す

$2.0\mathrm{kg}$ の物体が地面から $5.0\mathrm{m}$ の高さにあります。

$$U=2.0\times 9.8\times 5.0=98\mathrm{J}$$

$3.0\mathrm{m}$ の高さを基準に選び直すと $U=39.2\mathrm{J}$ になる。値は変わりますが、地面まで落ちるときの変化はどちらで測っても $98\mathrm{J}$ です。

保存力という条件

重力には、経路によらず仕事が決まるという性質があります。まっすぐ落ちても、斜面を回り道しても、同じ高さぶんの仕事は同じ。

この性質を持つ力を保存力といいます。重力と弾性力が代表で、位置エネルギーを定められるのは保存力だけ。

力学的エネルギーの保存

運動エネルギーと位置エネルギーを足したものを力学的エネルギーと呼びます。

$$E=K+U=\frac{1}{2}m{v}^2+mgh$$

保存力しか働かないとき、この $E$ は動いている間ずっと同じ値をとる。高さが下がれば $U$ が減り、そのぶん $K$ が増える。

減った位置エネルギーが運動エネルギーへ移るだけで、合計は動かない。エネルギーの入れ物が $2$ つあって、中身をやりとりしているようなものです。

例：落下したときの速さ

$5.0\mathrm{m}$ の高さから静かに落とした物体が、地面に着くときの速さを求めます。

落とす前は $K=0$ で $U=mgh$、地面では $U=0$ で $K$ が最大。合計が等しいので、次の式が成り立つ。

$$\frac{1}{2}m{v}^2=mgh$$

両辺の $m$ が消えます。質量によらないという結論がここで出る。

$$v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\times 9.8\times 5.0}=9.9m/s$$

軽い物体でも重い物体でも同じ速さで着地する。空気の抵抗を無視した場合の話。

例：斜面を滑り降りる

なめらかな斜面を、高さ $1.25\mathrm{m}$ の地点から滑り降りた場合を考える。

摩擦がなければ、垂直抗力は動く向きと直角なので仕事をしません。したがって高さの差だけが効く。

$$v=\sqrt{2\times 9.8\times 1.25}=5.0m/s$$

斜面の角度が急でも緩くても、同じ高さなら同じ速さになる。到達までの時間は変わりますが、速さは変わらない。

垂直に落とした場合とも一致します。経路によらないという保存力の性質が、そのまま答えに出ている。

例：振り子の最下点の速さ

長さ $1.0\mathrm{m}$ の糸につるしたおもりを、$60$ 度まで持ち上げて離します。

最下点からの高さは $L(1-\cos 60^{\circ })$ で求まる。$\cos 60^{\circ }=0.5$ なので $0.50\mathrm{m}$ です。

$$v=\sqrt{2\times 9.8\times 0.50}=3.1m/s$$

糸の張力は運動の向きと直角なので、仕事をしません。高さの差だけで速さが決まる。

摩擦があると保存されない

摩擦力は動く向きと逆に働き、負の仕事をし続ける。動いた距離に比例して力学的エネルギーが減っていく。

減ったぶんは消えたわけではありません。熱に変わっていて、全体としてのエネルギーは保存されています。

力学的エネルギーの保存則は、あくまで保存力しか働かない場合の話。摩擦や空気の抵抗が効く場面では、失われるぶんを別に勘定する必要がある。

例：摩擦で止まるまでの距離

$2.0\mathrm{kg}$ の物体が $4.0m/s$ で水平面を滑り、動摩擦係数が $0.20$ の面で止まりました。

摩擦力は $f=0.20\times 2.0\times 9.8=3.92\mathrm{N}$ です。

$$\frac{1}{2}\times 2.0\times 4.0^2=16\mathrm{J}$$

この $16\mathrm{J}$ をすべて摩擦が食べるまで進む。

$$d=\frac{16}{3.92}=4.1\mathrm{m}$$

$16\mathrm{J}$ は熱になって面と物体を温めています。力学的エネルギーとしては失われた。

運動量とは別の量

運動エネルギーと運動量は、どちらも運動の激しさを表すのに違う量です。

同じ運動量を持つ $2$ つの物体でも、軽くて速いほうが大きな運動エネルギーを持つ。$K=p^2/2m$ の分母に $m$ があるためです。