平均変化率から導関数まで〜微分の用語がつながる順番

平均変化率、微分係数、導関数。この 3 つは別々のものではなく、同じ計算を 3 段階で呼び分けた名前です。

区間に対して 1 つの数が出るのが平均変化率。点に対して 1 つの数が出るのが微分係数。$x$ を入れると微分係数を返す関数が導関数。

数がだんだん減って、最後に関数へ戻る。この流れをつかむと、問題文の言葉づかいで迷わなくなります。

3 段の関係

$f(x)=x^2$ で、3 つを順に出します。

区間 $[3,5]$ の平均変化率は $\frac{25-9}{2}=8$ です。区間を決めないと計算できません。

区間の右端を $3+h$ にして $h$ を $0$ へ送ると、$x=3$ での微分係数 $6$ が出ます。点だけで決まる値になりました。

同じことを $x=a$ でやると $2a$。$a$ を $x$ に書き直した $2x$ が導関数です^[1]。

右へ行くほど情報が増えています。導関数を 1 つ持っていれば、どの点の微分係数もすぐ出せる。

記号の読み方

導関数は $f^{\prime }(x)$ と書きます。$f$ にダッシュを付けた形で、エフダッシュと読む。

$y=f(x)$ のときは $y^{\prime }$ とも書きます。同じものを指す別の書き方です^[2]。

$\frac{dy}{dx}$ は分数に見えますが、割り算の式ではありません。$dy$ を $dx$ で割った、という読み方はしないでおきます。

導関数を求めることを「微分する」といいます。$x^2$ を微分すると $2x$、という言い方をする。

例：3 つの言葉で言い直す

$f(x)=x^2-4x$ を使い、同じ内容を 3 通りに書きます。

区間 $[1,3]$ の平均変化率は $\frac{f(3)-f(1)}{2}=\frac{-3-(-3)}{2}=0$ です。

$x=2$ での微分係数は $f^{\prime }(2)$。導関数が $2x-4$ なので $f^{\prime }(2)=0$ になります。

平均変化率も微分係数も $0$ でしたが、指しているものは違います。前者は 2 点を結んだ線が水平だということ、後者は $x=2$ での接線が水平だということ。

導関数はグラフから読める

もとのグラフの各点で接線の傾きを読み、その値を縦にとって並べると導関数のグラフになります^[3]。

上りが急なところでは導関数の値が大きく、下りでは負。水平なところで $0$ になります。

赤い直線が水平になる 2 か所で、緑の点が横軸に触れます。傾きが $0$ の場所と導関数の $0$ が対応している。

上下に並べて見る

もとのグラフと導関数のグラフを縦に並べると、対応がはっきりします。

上のグラフの山と谷が、下のグラフでは横軸との交点になります。位置ではなく勢いを描いたグラフなので、形はまったく変わる。

例：いくつかの関数で並べる

3 つの言葉をまとめて出す練習です。区間はすべて $[1,3]$ にそろえます。

$x^2$ の平均変化率 $4$ は、区間の中点 $x=2$ での微分係数 $f^{\prime }(2)=4$ と一致しています。

$x^3$ の $13$ は $f^{\prime }(x)=3x^2$ のどこかの値と一致し、$3x^2=13$ を解くと $x\approx 2.08$。中点よりやや右です。

$2x+5$ は導関数が定数なので、区間をどこにとっても $2$ になります。

微分係数がなくても平均変化率は出る

平均変化率は引き算と割り算だけなので、どんな関数でも計算できます。極限を使いません。

微分係数のほうは極限が要るので、行き先が定まらない点では出せない。折れ目のある関数がそれにあたります。

だから教科書の問題では、平均変化率と微分係数のどちらを聞かれても答えが出ます。区別が要るのは、値そのものではなく何に対する値かという点です。

言葉が 3 つに分かれているのは、区間の話と点の話と関数の話を混ぜないためです。どれを聞かれているかで、答えの形も変わります。

参考文献