なぜ x の n 乗を微分すると n が前に出るのか｜高校数学2の微分

$x^{5}$ を微分すると $5 x^{4}$ になります。肩に乗っていた $5$ が前へ降りて、肩の数が $1$ 減る。

$(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$

覚えるのは簡単ですが、なぜ $n$ が前に出るのかは定義まで戻ると見えます^[1]。

$x^{4}$ で確かめる

定義どおり $\frac{( x + h ) ^{4} - x ^{4}}{h}$ を計算します。まず分子を展開する。

$(x + h)^{4} = x^{4} + 4 x^{3} h + 6 x^{2} h^{2} + 4 x h^{3} + h^{4}$

$x^{4}$ を引くと $x^{4}$ が消え、残りはすべて $h$ を含みます。

$\frac{4 x ^{3} h + 6 x ^{2} h ^{2} + 4 x h ^{3} + h ^{4}}{h} = 4 x^{3} + 6 x^{2} h + 4 x h^{2} + h^{3}$

$h \to 0$ で $h$ を含む項が消え、 $4 x^{3}$ だけが残る。前に出た $4$ は、二項定理の $h$ が 1 個の項の係数です。

$h$ が 1 個の項だけが生き残る

一般の $n$ でも同じです。 $(x + h)^{n}$ を展開すると、 $h$ の個数ごとに項が並びます^[2]。

$(x + h)^{n} = x^{n} +_{n} C_{1} x^{n - 1} h +_{n} C_{2} x^{n - 2} h^{2} + \dots + h^{n}$

$x^{n}$ は引き算で消えます。残りを $h$ で割ると、 $h$ が 1 個だった項だけが $h$ のない形になる。

$h$ が 2 個以上あった項は割ったあとも $h$ が残るので、 $h \to 0$ で消えます。

$h \to 0 lim (_{n} C_{1} x^{n - 1} +_{n} C_{2} x^{n - 2} h + \dots) = n x^{n - 1}$

$h$ が 1 個の項の係数は $_{n} C_{1} = n$ 。これが前に出る $n$ の正体です。

$h$ が $0$ 個の行は引き算で消え、 $2$ 個以上の行は最後に消える。真ん中の 1 行だけが答えになります。

定数倍はそのまま外へ出る

$5 x^{8}$ のように係数が付いていても、係数は微分に巻き込まれません^[3]。

${a f (x)}^{'} = a f^{'} (x)$

$5 x^{8}$ なら $5 \times 8 x^{7} = 40 x^{7}$ 。 $- 3 x^{4}$ なら $- 3 \times 4 x^{3} = - 12 x^{3}$ です。

定義に戻ると理由がすぐ分かります。分子の $a f (x + h) - a f (x)$ から $a$ をくくり出せるためです。

和と差は別々に微分する

足し算でつながった関数は、1 つずつ微分して足し直します。

${f (x) + g (x)}^{'} = f^{'} (x) + g^{'} (x)$

引き算も同じです。だから多項式は、項ごとにばらして処理できます。

項ごとに分ける

係数を外に出す

$x$ の肩の数を前へ降ろす

この 3 手で、どんな多項式も微分できます。順番は入れ替えても構造は変わりません。

定数を微分すると $0$

$f (x) = 7$ のように $x$ を含まない関数は、値がどこでも同じです。

分子の $f (x + h) - f (x)$ が $7 - 7 = 0$ になるので、微分係数は $0$ 。グラフが水平だから傾きも $0$ です。

多項式の定数項が微分で消えるのは、このためです。 $x^{2} + 100$ も $x^{2} - 3$ も、導関数は同じ $2 x$ になります。

例：多項式を 1 行で微分する

$f (x) = 2 x^{5} - x^{3} + 4$ を微分します。項ごとに肩を降ろす。

$f^{'} (x) = 2 \cdot 5 x^{4} - 3 x^{2} + 0 = 10 x^{4} - 3 x^{2}$

$f (x) = 4 x^{3} - 2 x + 1$ なら $f^{'} (x) = 12 x^{2} - 2$ 。 $x$ の項は $x^{1}$ なので、降ろすと $1 \cdot x^{0} = 1$ です。

$f (x) = - x^{6} + 5 x^{2} - 8 x$ なら $f^{'} (x) = - 6 x^{5} + 10 x - 8$ になります。

もとの式	導関数
$2 x^{5} - x^{3} + 4$	$10 x^{4} - 3 x^{2}$
$4 x^{3} - 2 x + 1$	$12 x^{2} - 2$
$- x^{6} + 5 x^{2} - 8 x$	$- 6 x^{5} + 10 x - 8$

例：先に展開する

$f (x) = (x + 1) (x - 3)$ のような積は、そのままでは公式が当たりません。

展開して $x^{2} - 2 x - 3$ にしてから微分します。答えは $2 x - 2$ です。

$f (x) = (2 x - 1)^{2}$ なら $4 x^{2} - 4 x + 1$ に直して $8 x - 4$ 。 $f (x) = x (x^{2} + 3)$ なら $x^{3} + 3 x$ に直して $3 x^{2} + 3$ になります。

数学 II の範囲では、積の形をそのまま微分する公式は使いません。

展開してから項ごとに処理する。多項式なら必ず展開できるので、これで足りる。

例：分数の係数

係数が分数でも、外に出す作業は同じです。

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2}$ の導関数は次のとおり。

$f^{'} (x) = \frac{1}{3} \cdot 3 x^{2} - \frac{1}{2} \cdot 2 x = x^{2} - x$

$3$ と $2$ が約分で消えて、きれいな形になりました。問題で $\frac{1}{3} x^{3}$ が出てくるのは、この約分をねらった作りです。

例：文字定数を含む式

$f (x) = a x^{2} + b x + c$ を $x$ で微分すると $f^{'} (x) = 2 a x + b$ です。

$a$ 、 $b$ 、 $c$ は定数として扱います。動くのは $x$ だけ、という約束になっている。

$c$ は定数項なので消えます。 $b$ の付いた $b x$ は $b$ が残る。

$f (x) = 3 x^{4} - 2 x^{3} + x - 6$ の導関数はどれですか。

$12 x^{3} - 6 x^{2} + 1 - 6$
$12 x^{3} - 6 x^{2} + 1$
$12 x^{4} - 6 x^{3} + x$

__RESULT__

各項の肩を前へ降ろして $12 x^{3} - 6 x^{2} + 1$ です。定数項の $- 6$ は微分すると $0$ になるので、式には残りません。3 つめは肩の数を減らし忘れた形にあたります。

もう 1 問、係数の扱いを確かめます。

$f (x) = \frac{1}{4} x^{4} + 5 x$ の $x = 2$ における微分係数はいくつですか。

$13$
$9$
$8$

__RESULT__

導関数は $x^{3} + 5$ なので、 $x = 2$ を入れて $8 + 5 = 13$ です。 $8$ は $x^{3}$ の値だけ、 $9$ は $\frac{1}{4}$ を掛け忘れた計算にあたります。

肩の数を前へ降ろして、肩を $1$ 減らす。多項式の微分はこの動作の繰り返しです。

出典

3.3 Differentiation Rules. Calculus Volume 1, OpenStax.

Paul Dawkins. *The Definition of the Derivative*. Paul's Online Notes, Lamar University.

Nombre dérivé – Fonction dérivée. Maths-Cours.fr.

$(x + h)^4$ を展開すると 5 つの項が並びますが、$x^4$ は引き算で消え、$h$ が 2 個以上の項は $h$ で割ったあとも $h$ が残って最後に消えます。生き残るのは $h$ が 1 個だった項だけ。その係数 ${}_n \mathrm{C}_1$ が、前に出る $n$ の正体です。定数倍は外へ出せて、和と差は別々に微分でき、定数項は $0$ になる。$2x^5 - x^3 + 4$、$(2x - 1)^2$ のように展開してから当てる形、$\dfrac{1}{3}x^3$ の約分、$ax^2 + bx + c$ の文字定数まで計算例を並べました。