平均変化率は2点を結ぶ直線の傾き（数学Ⅱの微分の入口）

$f (x) = x^{2} - 5 x - 6$ で $x$ が $4$ から $8$ へ動くと、 $y$ は $- 10$ から $18$ へ動きます。 $x$ が $4$ 増えるあいだに $y$ が $28$ 増えた。

割ると $\frac{28}{4} = 7$ です。 $x$ が $1$ 増えるごとに $y$ が平均で $7$ ずつ増えた、という意味になります。

この値を区間 $[4, 8]$ における平均変化率といいます^[1]。

定義

$x$ が $a$ から $b$ まで動くときの $y = f (x)$ の変化量は $f (b) - f (a)$ です。

これを $x$ の変化量 $b - a$ で割ったものが平均変化率になります。

$\frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}$

分子が $y$ の増えぶん、分母が $x$ の増えぶん。中学で習った直線の傾きと、形はまったく同じです。

違うのは相手が直線ではないこと。曲線でも 2 点さえ決まれば、この割り算はできます。

2 点を結ぶ直線の傾き

$(a, f (a))$ と $(b, f (b))$ の 2 点を通る直線を引きます。この直線の傾きが平均変化率です^[2]。

曲線を 2 点で切る直線なので、割線と呼びます。

三角形の横が $x$ の変化量、縦が $y$ の変化量。斜辺の傾きが求める値です。

例：区間を変える

同じ $f (x) = x^{2} - 5 x - 6$ で、区間だけをとりかえてみます。

$[0, 2]$ では $f (0) = - 6$ 、 $f (2) = - 12$ なので $\frac{- 12 - ( - 6 )}{2} = - 3$ 。

$[2, 5]$ では $f (2) = - 12$ 、 $f (5) = - 6$ なので $\frac{- 6 - ( - 12 )}{3} = 2$ 。

$[5, 8]$ では $f (5) = - 6$ 、 $f (8) = 18$ なので $\frac{18 - ( - 6 )}{3} = 8$ です。

区間	変化量	平均変化率
$[0, 2]$	$- 6$	$- 3$
$[2, 5]$	$6$	$2$
$[5, 8]$	$24$	$8$

区間ごとに値が違います。曲線では、どこを見るかで変化の勢いが変わるためです。

負の値は減っていることを表します。 $[0, 2]$ ではグラフが下がっている。

例：1 次関数だけは変わらない

$f (x) = 3 x + 1$ で試します。 $[0, 2]$ なら $\frac{7 - 1}{2} = 3$ 。

$[5, 9]$ なら $\frac{28 - 16}{4} = 3$ 。 $[- 4, - 1]$ なら $\frac{- 2 - ( - 11 )}{3} = 3$ です。

どの区間でも $3$ になりました。1 次関数のグラフは直線で、傾きがどこでも同じだからです。

1 次関数

区間をどこにとっても平均変化率は同じ。傾き $a$ がそのまま出る

2 次以上の関数

区間ごとに値が変わる。どこを見たかを言わないと決まらない

平均変化率を答えるときに区間を書き添えるのは、このためです。区間なしでは値が定まりません。

区間の幅は変えずに位置だけずらしています。それでも値は動く。下り坂では負、上り坂では正になります。

2 乗の関数には近道がある

$f (x) = x^{2}$ の区間 $[a, b]$ での平均変化率を、文字のまま計算します。

$\frac{b ^{2} - a ^{2}}{b - a} = \frac{( b + a ) ( b - a )}{b - a} = a + b$

両端の値を足すだけでした。 $[3, 7]$ なら $10$ 、 $[- 2, 5]$ なら $3$ です^[3]。

$f (x) = x^{3}$ でも同じように因数分解できます。

$\frac{b ^{3} - a ^{3}}{b - a} = a^{2} + ab + b^{2}$

$[1, 3]$ なら $1 + 3 + 9 = 13$ 。これらは検算にも使えます。

分母の $b - a$ が約分で消えるのは、分子が $b - a$ を因数に持つためです。

$b^{n} - a^{n}$ はいつでも $b - a$ で割り切れる。だから平均変化率はきれいな式になる。

例：真ん中の点と一致する

$f (x) = x^{2}$ の $[a, b]$ での平均変化率は $a + b$ でした。

一方、区間の真ん中は $\frac{a + b}{2}$ です。ここでの接線の傾きは $2 \times \frac{a + b}{2} = a + b$ 。

平均変化率と、区間の中点での接線の傾きが一致しました。2 次関数に特有の性質です。

$[2, 6]$ で確かめます。平均変化率は $8$ 、中点 $x = 4$ での接線の傾きも $2 \times 4 = 8$ です。

例：物の動きで読む

$x$ を時刻、 $y$ を位置とすると、平均変化率は平均の速さになります^[4]。

$f (t) = t^{2} + 2 t$ で位置が動くとき、 $1$ 秒後から $4$ 秒後までの平均の速さは次のとおり。

$\frac{f ( 4 ) - f ( 1 )}{4 - 1} = \frac{24 - 3}{3} = 7$

秒速 $7$ です。3 秒間をならした値で、途中のどこかの瞬間の速さとは限りません。

$x$ を水を入れた時間、 $y$ を水の量にすれば、平均変化率は毎分どれだけ入ったかを表します。

2 つの量を関数で結ぶ

区間の両端で値を出す

差どうしを割る

例： $h$ を使った書き方

区間を $[a, a + h]$ と書くと、平均変化率は次の形になります。

$\frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$

$b$ のかわりに「 $a$ から $h$ だけ離れた点」と見た書き方です。中身は同じもの。

$f (x) = x^{2}$ で試すと $\frac{( a + h ) ^{2} - a ^{2}}{h} = 2 a + h$ となり、両端の和 $a + (a + h)$ と一致します。

この形にしておくと、 $h$ を小さくしたときの様子が読みやすくなります。

$f (x) = x^{2} + 1$ の区間 $[- 1, 4]$ における平均変化率はいくつですか。

$5$
$3$
$\frac{17}{5}$

__RESULT__

$f (- 1) = 2$ 、 $f (4) = 17$ なので $\frac{17 - 2}{4 - ( - 1 )} = \frac{15}{5} = 3$ です。両端の和 $- 1 + 4$ を使っても同じ値になります。 $\frac{17}{5}$ は分子を $f (4)$ だけにした形、 $5$ は $x$ の変化量そのものにあたります。

区間を決め、両端の差を割る。ここまでが平均変化率で、区間の幅を $0$ へ送ると次の話に移ります。

参考

2.3: The slope of a secant line is the average rate of change/02:_Average_rates_of_change_average_velocity_and_the_secant_line/2.03:_The_slope_of_a_secant_line_is_the_average_rate_of_change). Mathematics LibreTexts.

The Rate of Change of a Function. Calculus Early Transcendentals, Simon Fraser University.

Josef Leydold. *Kapitel 7: Differentialrechnung*. Mathematik für VW, Wirtschaftsuniversität Wien.

Chapitre 3 — Dérivation, étude de fonctions. MathSV, Université Claude Bernard Lyon 1.

$x^2 - 5x - 6$ で $x$ が 4 から 8 へ動くと $y$ は 28 増え、割ると 7。これが区間 $[4, 8]$ の平均変化率です。同じ関数でも $[0, 2]$ なら $-3$、$[5, 8]$ なら 8 と、見る場所で値が変わる。区間をどこにとっても同じ値になるのは 1 次関数だけです。$x^2$ なら両端を足すだけで $a + b$、$x^3$ なら $a^2 + ab + b^2$ になり、分母が約分で消える理由も見ます。2 次関数では平均変化率が区間の中点での接線の傾きと一致する。平均の速さ、毎分入る水の量として読む例も並べました。