関数の平均変化率：微分を勉強する前に知るべきこと

$x^2-5x-6$ の $(4,-10)$ から $(8,18)$ までの変化は

$x:4\to 8$
$y:-10\to 18$

です．$x$ の変化量は $4$，$y$ の変化量は $28$ だから，平均的な変化率は

$$\frac{28}{4}=7$$

となります．

一般に $x$ が $a$ から $b$ まで動くときの $y=f(x)$ の変化量は

$$f(b)-f(a)$$

で

$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

は平均的な変化率をあらわします．平均変化率は $(a,f(a))$ と $(b,f(b))$ を結ぶ直線の傾きに等しくなります．

$x$ を時間，$y$ を位置と考えると，平均変化率は物体の平均速度になります．速度とは位置の瞬間的な変化率です．