平均変化率は2点を結ぶ直線の傾き（数学Ⅱの微分の入口）

$f(x)=x^2-5x-6$ で $x$ が $4$ から $8$ へ動くと、$y$ は $-10$ から $18$ へ動きます。$x$ が $4$ 増えるあいだに $y$ が $28$ 増えた。

割ると $\frac{28}{4}=7$ です。$x$ が $1$ 増えるごとに $y$ が平均で $7$ ずつ増えた、という意味になります。

この値を区間 $[4,8]$ における平均変化率といいます^[1]。

定義

$x$ が $a$ から $b$ まで動くときの $y=f(x)$ の変化量は $f(b)-f(a)$ です。

これを $x$ の変化量 $b-a$ で割ったものが平均変化率になります。

$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

分子が $y$ の増えぶん、分母が $x$ の増えぶん。中学で習った直線の傾きと、形はまったく同じです。

違うのは相手が直線ではないこと。曲線でも 2 点さえ決まれば、この割り算はできます。

2 点を結ぶ直線の傾き

$(a,f(a))$ と $(b,f(b))$ の 2 点を通る直線を引きます。この直線の傾きが平均変化率です^[2]。

曲線を 2 点で切る直線なので、割線と呼びます。

三角形の横が $x$ の変化量、縦が $y$ の変化量。斜辺の傾きが求める値です。

例：区間を変える

同じ $f(x)=x^2-5x-6$ で、区間だけをとりかえてみます。

$[0,2]$ では $f(0)=-6$、$f(2)=-12$ なので $\frac{-12-(-6)}{2}=-3$。

$[2,5]$ では $f(2)=-12$、$f(5)=-6$ なので $\frac{-6-(-12)}{3}=2$。

$[5,8]$ では $f(5)=-6$、$f(8)=18$ なので $\frac{18-(-6)}{3}=8$ です。

区間ごとに値が違います。曲線では、どこを見るかで変化の勢いが変わるためです。

負の値は減っていることを表します。$[0,2]$ ではグラフが下がっている。

例：1 次関数だけは変わらない

$f(x)=3x+1$ で試します。$[0,2]$ なら $\frac{7-1}{2}=3$。

$[5,9]$ なら $\frac{28-16}{4}=3$。$[-4,-1]$ なら $\frac{-2-(-11)}{3}=3$ です。

どの区間でも $3$ になりました。1 次関数のグラフは直線で、傾きがどこでも同じだからです。

平均変化率を答えるときに区間を書き添えるのは、このためです。区間なしでは値が定まりません。

区間の幅は変えずに位置だけずらしています。それでも値は動く。下り坂では負、上り坂では正になります。

2 乗の関数には近道がある

$f(x)=x^2$ の区間 $[a,b]$ での平均変化率を、文字のまま計算します。

$$\frac{b^2-a^2}{b-a}=\frac{(b+a)(b-a)}{b-a}=a+b$$

両端の値を足すだけでした。$[3,7]$ なら $10$、$[-2,5]$ なら $3$ です^[3]。

$f(x)=x^3$ でも同じように因数分解できます。

$$\frac{b^3-a^3}{b-a}=a^2+ab+b^2$$

$[1,3]$ なら $1+3+9=13$。これらは検算にも使えます。

例：真ん中の点と一致する

$f(x)=x^2$ の $[a,b]$ での平均変化率は $a+b$ でした。

一方、区間の真ん中は $\frac{a+b}{2}$ です。ここでの接線の傾きは $2\times \frac{a+b}{2}=a+b$。

平均変化率と、区間の中点での接線の傾きが一致しました。2 次関数に特有の性質です。

$[2,6]$ で確かめます。平均変化率は $8$、中点 $x=4$ での接線の傾きも $2\times 4=8$ です。

例：物の動きで読む

$x$ を時刻、$y$ を位置とすると、平均変化率は平均の速さになります^[4]。

$f(t)=t^2+2t$ で位置が動くとき、$1$ 秒後から $4$ 秒後までの平均の速さは次のとおり。

$$\frac{f(4)-f(1)}{4-1}=\frac{24-3}{3}=7$$

秒速 $7$ です。3 秒間をならした値で、途中のどこかの瞬間の速さとは限りません。

$x$ を水を入れた時間、$y$ を水の量にすれば、平均変化率は毎分どれだけ入ったかを表します。

例：$h$ を使った書き方

区間を $[a,a+h]$ と書くと、平均変化率は次の形になります。

$$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

$b$ のかわりに「$a$ から $h$ だけ離れた点」と見た書き方です。中身は同じもの。

$f(x)=x^2$ で試すと $\frac{(a+h{)}^2-a^2}{h}=2a+h$ となり、両端の和 $a+(a+h)$ と一致します。

この形にしておくと、$h$ を小さくしたときの様子が読みやすくなります。

区間を決め、両端の差を割る。ここまでが平均変化率で、区間の幅を $0$ へ送ると次の話に移ります。

参考