収束と発散と振動の分かれ目｜数列の極限（高校数学Ⅲ）

$\frac{1}{n}$ は $n=10$ で $0.1$、$n=100$ で $0.01$、$n=1000$ で $0.001$ です。$0$ には決してなりませんが、いくらでも近づく。

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}=0$$

この $0$ を数列 $\left\{\frac{1}{n}\right\}$ の極限といい、数列は $0$ に収束するといいます^[1]。

行き先は 3 通り

数列の $n$ を大きくしたときの振る舞いは、大きく 3 つに分かれます。

一定の値に近づけば収束。値がどこまでも大きく、または小さくなれば発散といいます。どちらでもなく揺れ続ける場合を振動と呼びます。

$1,1,1,\dots$ のような定数列も収束します。行き先は $1$。

$\{(-1{)}^n\}$ は $-1$ と $1$ を往復し続けるので、どの値にも近づきません^[3]。

「近づく」を数で言い切る

近づくという言い方は曖昧です。どこまで近づけば近づいたことになるのか。

大学の教科書では、幅を先に決めさせる形で書きます。どんなに小さな幅 $\epsilon$ を持ってきても、ある番号から先の項が全部その幅に収まる、という言い方です^[1][2]。

$$\forall \epsilon >0,\exists N,n\ge N\Rightarrow |a_n-\alpha |<\epsilon$$

言いかえると、幅の外に出る項は有限個しかない^[2]。最初の何項かが暴れていても、極限には関係しません。

例：番号を実際に出す

$a_n=\frac{2n+1}{n}$ とします。$2+\frac{1}{n}$ と書けるので、行き先は $2$。

幅を $0.01$ と決めると、$\left|a_n-2\right|=\frac{1}{n}<0.01$ から $n>100$ が出ます。

$101$ 番目から先の項は、すべて $1.99$ と $2.01$ のあいだに入る。幅を $0.0001$ にすれば $10001$ 番目からです。

幅をどれだけ小さくしても、対応する番号が必ず見つかる。これが収束の中身になっています。

発散にも 2 種類ある

発散のうち、$+\infty$ や $-\infty$ という行き先が言えるものを分けて扱う流儀があります^[2]。

どんな大きさの壁を用意しても、ある番号から先の項が全部その壁を越えるなら $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\infty$ と書きます。

$\{(-1{)}^n\}$ や $\{(-2{)}^n\}$ は行き先を言えません。こちらは振動と呼びます。

$\infty$ は数ではないので、$\lim a_n=\infty$ と書いても収束したわけではありません^[2]。

極限の四則

2 つの数列が両方とも収束するとき、和・差・積・商の極限が別々に計算できます^[1][4]。

$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\alpha$、$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=\beta$ とします。

商だけ条件が付きます。分母の極限が $0$ だと、比の行き先が決まらないためです。

前提はどちらも収束すること。発散する数列にこの規則を当てると答えを間違えます。

収束する数列は必ず有界

収束する数列は、ある幅の中に全部の項が収まります^[3]。極限のまわりの帯に入りきらない項が有限個しかないので、その有限個も含めて上限がとれる。

逆は成り立ちません。$\{(-1{)}^n\}$ は $-1$ と $1$ に収まっていますが収束しない。

有界であることは収束の必要条件であって、十分条件ではありません。

例：分子と分母が同じ次数

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2n^2-7n+3}{n^2+5n}$ を求めます。そのままでは分子も分母も $\infty$ に発散する。

分母の最高次 $n^2$ で分子と分母を割ります。

$$\begin{array}{rl}\frac{2n^2-7n+3}{n^2+5n}& =\frac{2-\frac{7}{n}+\frac{3}{n^2}}{1+\frac{5}{n}}\\ & \to \frac{2-0+0}{1+0}=2\end{array}$$

$\frac{1}{n}$ の形を作れば、四則がそのまま使えます。最高次の係数の比が答え。

例：分母の次数が高い

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{3n+1}{n^2-2}$ でも、割る相手は分母の最高次 $n^2$ です。

$$\frac{\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2}}{1-\frac{2}{n^2}}\to \frac{0}{1}=0$$

分子の次数が低いほうが負けます。答えは $0$。

例：分子の次数が高い

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^2+1}{2n+3}$ は $\infty$ に発散します。

分母の最高次 $n$ で割ると、分子に $n$ が残る。

$$\frac{n+\frac{1}{n}}{2+\frac{3}{n}}\to \infty$$

次数の比較だけで、収束するか発散するかが先に見えます。

例：無限大の差

$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\sqrt{n^2+n}-n\right)$ を考えます。$\sqrt{n^2+n}$ も $n$ も $\infty$ なので、差の規則は使えません。

分子と分母に $\sqrt{n^2+n}+n$ を掛けて、根号を外します。

$$\begin{array}{rl}\sqrt{n^2+n}-n& =\frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}\\ & =\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}\to \frac{1}{2}\end{array}$$

$n=100$ で $0.49876$、$n=10000$ で $0.4999875$。数値でも $\frac{1}{2}$ に寄っています。

例：根号どうしの差

$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)$ も同じ手です。

$$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\to 0$$

分母が $\infty$ に伸びるので $0$。$n$ の 1 次と $\frac{1}{2}$ 次で、伸び方の差が効いています。

例：$0\times \infty$ の形

$\underset{n\to \infty }{\lim }n\left(\sqrt{n^2+1}-n\right)$ では、前が $\infty$、後ろが $0$ に向かいます。

後ろを有理化してから掛けます。

$$n\cdot \frac{1}{\sqrt{n^2+1}+n}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}+1}\to \frac{1}{2}$$

$0$ でも $\infty$ でもなく $\frac{1}{2}$。どちらが勝つかは変形しないと分かりません。

発散の速さを比べる

発散するもの同士でも、伸び方には大きな差があります。$n=12$ で見ると差が目に見える。

$\log n$ より $n$、$n$ より $n^2$、$n^2$ より $2^n$、$2^n$ より $n!$ が速い。比をとるとこの順序が効きます。

例：多項式と指数の比

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^2}{2^n}$ は $0$ です。$2^n=(1+1{)}^n$ を二項定理で開くと、$n^3$ の項が出てきます。

$$2^n\ge {}_n{\mathrm{C}}_3=\frac{n(n-1)(n-2)}{6}(n\ge 3)$$

これを分母に使うと、比は $\frac{6n^2}{n(n-1)(n-2)}$ 以下になり、$0$ に向かう。

指数関数はどんな多項式よりも速く伸びます。分母に置けば必ず勝ちます。

不定形も確かめます。

分数なら最高次で割る。根号の差なら有理化する。形を見て、$\frac{1}{n}$ を作れる向きに変えていく作業です。

出典