分数関数の極限：0/0と無限/無限の不定形をどう考えるか

$x$ の収束値を関数に代入して

• 分母が $0$ でない
• 分子と分母が有限値になる

ときは，代入した値が分数関数の極限値になります．

\lim_{ x \to 1 } \frac{ 2x^2 - 7x + 3 }{ x - 3 } &= \frac{ 2 \cdot 1^2 - 7 \cdot 1 + 3 }{ 1 - 3 } \\ &= \frac{ -2 }{ -2 } \\ &= 1

分子と分母が $0$ になるとき

$$\underset{x\to 3}{\lim }\frac{2x^2-7x+3}{x-3}$$

は分母 $x-3$ に $x=3$ を代入すると $0$ になり，分子もまた $0$ になります．$\frac{0}{0}$ という数はないため，分数関数を変形してから代入します．

\lim_{ x \to 3 } \frac{ 2x^2 - 7x + 3 }{ x - 3 } &= \lim_{ x \to 3 } \frac{ (2x - 1)(x - 3) }{ x - 3 } \\ &= \lim_{ x \to 3 } (2x - 1) \\ &= 5

$x$ を無限に近づけるとき

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{2x^2-7x+3}{x^2+5x}$$

は分子と分母が発散するため，$\frac{\infty }{\infty }$ となり意味をなさない．この場合，分子と分母を $x^2$ で割ってから極限を考えます．

\lim_{ x \to \infty } \frac{ 2x^2 - 7x + 3 }{ x^2 + 5x } &= \lim_{ x \to \infty } \frac{ 2 - 7 \dfrac{ 1 }{ x } + 3 \dfrac{ 1 }{ x^2 } }{ 1 + 5 \dfrac{ 1 }{ x } }\\ &= \frac{ 2 - 7 \cdot 0 + 3 \cdot 0 }{ 1 + 5 \cdot 0 } \\ &= 2