の収束値を関数に代入して
- 分母が でない
- 分子と分母が有限値になる
ときは，代入した値が分数関数の極限値になります．
\lim_{ x \to 1 } \frac{ 2x^2 - 7x + 3 }{ x - 3 }
&= \frac{ 2 \cdot 1^2 - 7 \cdot 1 + 3 }{ 1 - 3 } \
&= \frac{ -2 }{ -2 } \
&= 1
分子と分母が になるとき
は分母 に を代入すると になり，分子もまた になります． という数はないため，分数関数を変形してから代入します．
\lim_{ x \to 3 } \frac{ 2x^2 - 7x + 3 }{ x - 3 }
&= \lim_{ x \to 3 } \frac{ (2x - 1)(x - 3) }{ x - 3 } \
&= \lim_{ x \to 3 } (2x - 1) \
&= 5
を無限に近づけるとき
は分子と分母が発散するため， となり意味をなさない．この場合，分子と分母を で割ってから極限を考えます．
\lim_{ x \to \infty } \frac{ 2x^2 - 7x + 3 }{ x^2 + 5x }
&= \lim_{ x \to \infty } \frac{ 2 - 7 \dfrac{ 1 }{ x } + 3 \dfrac{ 1 }{ x^2 } }{ 1 + 5 \dfrac{ 1 }{ x } }\
&= \frac{ 2 - 7 \cdot 0 + 3 \cdot 0 }{ 1 + 5 \cdot 0 } \
&= 2
