約分と有理化で 0 を消していく（分数関数の極限と 0/0 の不定形）

$x \to 1 lim \frac{2 x ^{2} - 7 x + 3}{x - 3}$ は代入だけで済みます。分子が $- 2$ 、分母が $- 2$ で、答えは $1$ 。

代入が使えるのは、分母が $0$ にならず、分子も分母も有限の値になるときです^[1]。

近づく先が分母の零点だと、この手が通りません。 $\frac{0}{0}$ や $\frac{\infty}{\infty}$ が出てきます。

$\frac{0}{0}$ は答えではない

$\frac{0}{0}$ という数はありません。式の形しだいで行き先が変わるので、不定形と呼びます^[4]。

$\frac{x}{x}$ は $1$ に、 $\frac{x ^{2}}{x}$ は $0$ に、 $\frac{x}{x ^{2}}$ は $\infty$ に向かう。どれも $x \to 0$ で分子と分母が $0$ です^[4]。

分子と分母が $0$ に向かう速さの比が答えを決める。速さを見るには、式を変形して共通の因数を消します。

共通因数を消す

$x \to 3 lim \frac{2 x ^{2} - 7 x + 3}{x - 3}$ では、分子が $(2 x - 1) (x - 3)$ と因数分解できます。

$x \to 3 lim \frac{2 x ^{2} - 7 x + 3}{x - 3} = x \to 3 lim \frac{( 2 x - 1 ) ( x - 3 )}{x - 3} = x \to 3 lim (2 x - 1) = 5$

$x = 3$ そのものは考えないので、 $x - 3$ で割れます。極限は $x$ が $3$ に近い値のときの話だからです。

分子と分母が同じ一次式で割り切れるとき、グラフには点がひとつだけ抜けた穴ができます。

ドイツ語の教科書ではこれを「埋められる定義の穴」と呼びます^[3]。抜けた点に極限の値を与えれば、関数はそこで連続になる。

例：3 次式の因数分解

$x \to 2 lim \frac{x ^{3} - 8}{x - 2}$ では、 $x^{3} - 8 = (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ を使います。

$x \to 2 lim (x^{2} + 2 x + 4) = 4 + 4 + 4 = 12$

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$ の形を覚えておくと、 $0$ が消える相手をすぐ見つけられます。

例：根号を含む形

$x \to 0 lim \frac{1 + x - 1}{x}$ は因数分解できません。分子と分母に $1 + x + 1$ を掛けます。

$\frac{1 + x - 1}{x} = \frac{( 1 + x ) - 1}{x ( 1 + x + 1 )} = \frac{1}{1 + x + 1} \to \frac{1}{2}$

$x$ が約分で消えました。根号のある $\frac{0}{0}$ は、有理化で $0$ をとり出す形になります。

例：根号どうしの差

$x \to 0 lim \frac{1 + x - 1 - x}{x}$ でも同じ手です。

$\frac{( 1 + x ) - ( 1 - x )}{x ( 1 + x + 1 - x )} = \frac{2}{1 + x + 1 - x} \to 1$

分子の $2 x$ と分母の $x$ が消えて、残った分母が $2$ に向かいます。

分母だけが $0$ になるとき

分子が $0$ でないのに分母が $0$ になる場合は、不定形ではありません。値は無限に飛びます^[3]。

$x \to 1 lim \frac{1}{( x - 1 ) ^{2}}$ は $+ \infty$ 。分母がつねに正なので、左右どちらから近づいても同じです。

$\frac{1}{x - 1}$ のほうは符号が変わります。右から近づけば $+ \infty$ 、左からなら $- \infty$ で、極限は存在しません。

分母が $0$ になる点のうち、約分で消える点が穴、消えない点が極です^[3]。まず因数分解して、どちらかを見分けます。

$\frac{\infty}{\infty}$ 型

$x \to \infty$ では、分子も分母も発散する形がよく出ます。こちらも不定形です^[4]。

分母の最高次で分子と分母を割ると、 $\frac{1}{x}$ の形が現れて片づきます^[2]。

$x \to \infty lim \frac{2 x ^{2} - 7 x + 3}{x ^{2} + 5 x} = x \to \infty lim \frac{2 - \frac{7}{x} + \frac{3}{x ^{2}}}{1 + \frac{5}{x}} = \frac{2 - 0 + 0}{1 + 0} = 2$

次数の関係だけで結果が先に読めます^[2]。

分子と分母が同じ次数なら、最高次の係数の比に収束する。

分子の次数が低ければ

0

に収束する。

分子の次数が高ければ発散する。

横軸を伸ばしてグラフを見ると、この 3 通りが形の違いとして現れます。

例：分子の次数が 1 つ高い

$x \to \infty lim \frac{x ^{2} + 1}{x - 1}$ は $\infty$ に発散しますが、伸び方に形があります。

割り算を実行すると、多項式と残りに分かれます^[2]。

$\frac{x ^{2} + 1}{x - 1} = x + 1 + \frac{2}{x - 1}$

$\frac{2}{x - 1}$ が $0$ に向かうので、グラフは直線 $y = x + 1$ に貼りつきます。この直線を斜め漸近線と呼びます^[2]。

差は $\frac{2}{x - 1}$ です。 $x = 100$ で $0.0202$ 、 $x = 10000$ で $0.0002$ 。目で見て離れなくなります。

負の無限大では符号に気をつける

$x \to - \infty$ で根号を含む式を扱うとき、 $x^{2} = ∣ x ∣$ が効いてきます^[2]。

$x$ が負なら $∣ x ∣ = - x$ なので、 $x^{2} + 1 = - x 1 + \frac{1}{x ^{2}}$ と書き直します。

$x \to - \infty lim \frac{x ^{2} + 1}{x} = x \to - \infty lim \frac{- x 1 + \frac{1}{x ^{2}}}{x} = - 1$

$x \to + \infty$ なら $+ 1$ です。同じ式でも、近づく向きで答えの符号が変わります。

$x^{2} = x$ と書いてしまうと、負の側で符号がひっくり返ったまま計算が進みます。

根号の外へ出すときは $∣ x ∣$ を経由し、 $x$ の符号を確かめてから $x$ か $- x$ に決める。

例： $\infty - \infty$ を含む形

$x \to - \infty lim (x^{2} + 3 x + x)$ を求めます。前が $+ \infty$ 、後ろが $- \infty$ です。

$x^{2} + 3 x - x$ を掛けて割ります。

$x^{2} + 3 x + x = \frac{3 x}{x ^{2} + 3 x - x}$

分母は $- x 1 + \frac{3}{x} - x = - x (1 + \frac{3}{x} + 1)$ です。 $x$ で約分します。

$\frac{3 x}{- x ( 1 + \frac{3}{x} + 1 )} \to \frac{3}{- 2} = - \frac{3}{2}$

符号を通したまま最後まで運ぶ。これができれば負の側も同じ手順で終わります。

不定形の一覧

行き先が式の形しだいで変わる組み合わせは、7 つ挙げられています^[4]。

形	例
$\frac{0}{0}$	$\frac{x}{x}$ と $\frac{x ^{2}}{x}$
$\frac{\infty}{\infty}$	$\frac{2 x ^{2}}{x ^{2}}$ と $\frac{x}{x ^{2}}$
$\infty - \infty$	$x^{2} + x - x$
$0 \times \infty$	$x \cdot \frac{1}{x ^{2}}$

残りの 3 つは $0^{0}$ 、 $\infty^{0}$ 、 $1^{\infty}$ です^[4]。指数の形で出てきます。

どの形も、そのままでは値が決まりません。約分・有理化・割り算のどれかで、決まる形に直してから極限をとります。

$x \to 2 lim \frac{x ^{2} - 4}{x ^{2} - 3 x + 2}$ はいくつですか。

__RESULT__

分子は $(x - 2) (x + 2)$ 、分母は $(x - 2) (x - 1)$ です。 $x - 2$ を消すと $\frac{x + 2}{x - 1}$ になり、 $x = 2$ で $\frac{4}{1} = 4$ です。 $1$ は最高次の係数の比を当てた誤り、 $0$ は分子だけを見た誤りになります。

負の側も確かめます。

$x \to - \infty lim \frac{4 x ^{2} + 1}{x + 1}$ はいくつですか。

$2$
$- 2$
$\frac{1}{2}$

__RESULT__

$x < 0$ では $4 x^{2} + 1 = - 2 x 1 + \frac{1}{4 x ^{2}}$ です。分母を $x$ で割ると $1 + \frac{1}{x} \to 1$ なので $- 2$ になります。 $2$ は絶対値を無視した誤り、 $\frac{1}{2}$ は分子と分母を逆にした誤りです。

代入して不定形が出たら、分子と分母に共通の $0$ か共通の $\infty$ が隠れています。それをとり出して消す作業が計算の本体です。

参考文献

David Guichard. *Computing limits*. Whitman College.

*Limits at Infinity and Asymptotes*. Calculus Volume 1, OpenStax.

Oliver Deiser. *Polstellen und stetig hebbare Definitionslücken*. Einführung in die Mathematik 1.1.

Indeterminate. Wolfram MathWorld.

$x \to 1$ なら代入で終わりますが、$x \to 3$ では分子も分母も $0$ になります。$\frac{0}{0}$ は式の形しだいで $1$ にも $0$ にも $\infty$ にもなる不定形。分子を $(2x-1)(x-3)$ に分けて約分すると $5$ が残り、グラフには点が 1 つ抜けた穴が空きます。約分で消えない点は極になり、$\frac{1}{x-1}$ は左右で符号が逆になる。$x \to \infty$ では最高次で割り、$\frac{x^{2}+1}{x-1}$ からは斜め漸近線 $y = x+1$ が出ます。$x \to -\infty$ で $\sqrt{x^{2}} = -x$ になる落とし穴と、不定形 7 種の一覧まで。