約分と有理化で 0 を消していく（分数関数の極限と 0/0 の不定形）

$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{2x^2-7x+3}{x-3}$ は代入だけで済みます。分子が $-2$、分母が $-2$ で、答えは $1$。

代入が使えるのは、分母が $0$ にならず、分子も分母も有限の値になるときです^[1]。

近づく先が分母の零点だと、この手が通りません。$\frac{0}{0}$ や $\frac{\infty }{\infty }$ が出てきます。

$\frac{0}{0}$ は答えではない

$\frac{0}{0}$ という数はありません。式の形しだいで行き先が変わるので、不定形と呼びます^[4]。

$\frac{x}{x}$ は $1$ に、$\frac{x^2}{x}$ は $0$ に、$\frac{x}{x^2}$ は $\infty$ に向かう。どれも $x\to 0$ で分子と分母が $0$ です^[4]。

分子と分母が $0$ に向かう速さの比が答えを決める。速さを見るには、式を変形して共通の因数を消します。

共通因数を消す

$\underset{x\to 3}{\lim }\frac{2x^2-7x+3}{x-3}$ では、分子が $(2x-1)(x-3)$ と因数分解できます。

$$\begin{array}{rl}\underset{x\to 3}{\lim }\frac{2x^2-7x+3}{x-3}& =\underset{x\to 3}{\lim }\frac{(2x-1)(x-3)}{x-3}\\ & =\underset{x\to 3}{\lim }(2x-1)=5\end{array}$$

$x=3$ そのものは考えないので、$x-3$ で割れます。極限は $x$ が $3$ に近い値のときの話だからです。

分子と分母が同じ一次式で割り切れるとき、グラフには点がひとつだけ抜けた穴ができます。

ドイツ語の教科書ではこれを「埋められる定義の穴」と呼びます^[3]。抜けた点に極限の値を与えれば、関数はそこで連続になる。

例：3 次式の因数分解

$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^3-8}{x-2}$ では、$x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$ を使います。

$$\underset{x\to 2}{\lim }(x^2+2x+4)=4+4+4=12$$

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ の形を覚えておくと、$0$ が消える相手をすぐ見つけられます。

例：根号を含む形

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}$ は因数分解できません。分子と分母に $\sqrt{1+x}+1$ を掛けます。

$$\begin{array}{rl}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}& =\frac{(1+x)-1}{x(\sqrt{1+x}+1)}\\ & =\frac{1}{\sqrt{1+x}+1}\to \frac{1}{2}\end{array}$$

$x$ が約分で消えました。根号のある $\frac{0}{0}$ は、有理化で $0$ をとり出す形になります。

例：根号どうしの差

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}$ でも同じ手です。

$$\frac{(1+x)-(1-x)}{x(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}=\frac{2}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}\to 1$$

分子の $2x$ と分母の $x$ が消えて、残った分母が $2$ に向かいます。

分母だけが $0$ になるとき

分子が $0$ でないのに分母が $0$ になる場合は、不定形ではありません。値は無限に飛びます^[3]。

$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{1}{(x-1{)}^2}$ は $+\infty$。分母がつねに正なので、左右どちらから近づいても同じです。

$\frac{1}{x-1}$ のほうは符号が変わります。右から近づけば $+\infty$、左からなら $-\infty$ で、極限は存在しません。

分母が $0$ になる点のうち、約分で消える点が穴、消えない点が極です^[3]。まず因数分解して、どちらかを見分けます。

$\frac{\infty }{\infty }$ 型

$x\to \infty$ では、分子も分母も発散する形がよく出ます。こちらも不定形です^[4]。

分母の最高次で分子と分母を割ると、$\frac{1}{x}$ の形が現れて片づきます^[2]。

$$\begin{array}{rl}\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{2x^2-7x+3}{x^2+5x}& =\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{2-\frac{7}{x}+\frac{3}{x^2}}{1+\frac{5}{x}}\\ & =\frac{2-0+0}{1+0}=2\end{array}$$

次数の関係だけで結果が先に読めます^[2]。

横軸を伸ばしてグラフを見ると、この 3 通りが形の違いとして現れます。

例：分子の次数が 1 つ高い

$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^2+1}{x-1}$ は $\infty$ に発散しますが、伸び方に形があります。

割り算を実行すると、多項式と残りに分かれます^[2]。

$$\frac{x^2+1}{x-1}=x+1+\frac{2}{x-1}$$

$\frac{2}{x-1}$ が $0$ に向かうので、グラフは直線 $y=x+1$ に貼りつきます。この直線を斜め漸近線と呼びます^[2]。

差は $\frac{2}{x-1}$ です。$x=100$ で $0.0202$、$x=10000$ で $0.0002$。目で見て離れなくなります。

負の無限大では符号に気をつける

$x\to -\infty$ で根号を含む式を扱うとき、$\sqrt{x^2}=|x|$ が効いてきます^[2]。

$x$ が負なら $|x|=-x$ なので、$\sqrt{x^2+1}=-x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}$ と書き直します。

$$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{x}=-1$$

$x\to +\infty$ なら $+1$ です。同じ式でも、近づく向きで答えの符号が変わります。

例：$\infty -\infty$ を含む形

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+3x}+x\right)$ を求めます。前が $+\infty$、後ろが $-\infty$ です。

$\sqrt{x^2+3x}-x$ を掛けて割ります。

$$\sqrt{x^2+3x}+x=\frac{3x}{\sqrt{x^2+3x}-x}$$

分母は $-x\sqrt{1+\frac{3}{x}}-x=-x\left(\sqrt{1+\frac{3}{x}}+1\right)$ です。$x$ で約分します。

$$\frac{3x}{-x\left(\sqrt{1+\frac{3}{x}}+1\right)}\to \frac{3}{-2}=-\frac{3}{2}$$

符号を通したまま最後まで運ぶ。これができれば負の側も同じ手順で終わります。

不定形の一覧

行き先が式の形しだいで変わる組み合わせは、7 つ挙げられています^[4]。

残りの 3 つは $0^0$、${\infty }^0$、$1^{\infty }$ です^[4]。指数の形で出てきます。

どの形も、そのままでは値が決まりません。約分・有理化・割り算のどれかで、決まる形に直してから極限をとります。

負の側も確かめます。

代入して不定形が出たら、分子と分母に共通の $0$ か共通の $\infty$ が隠れています。それをとり出して消す作業が計算の本体です。

参考文献