電場と電気力線 - 点電荷と極板のまわりの強さ

電荷 $Q$ から $20\mathrm{cm}$ 離れた点に、$1\mu \mathrm{C}$ を置くと $1.1\mathrm{N}$ の力を受けたとします。同じ点へ $2\mu \mathrm{C}$ を置けば $2.3\mathrm{N}$、$3\mu \mathrm{C}$ なら $3.4\mathrm{N}$。

置いた電荷を替えるたびに力は変わりますが、力を電荷で割った値は変わりません。割った先に残るのは、その点そのものの性質です。

$$E=\frac{F}{q}$$

置く前から決まっている

電場は、その点へ $1\mathrm{C}$ を置いたときに何ニュートンの力を受けるか、という量です。単位は $N/C$ で、$V/m$ とも書きます。

大事なのは、$q$ を置く前から $E$ が決まっている点です。$q$ を 2 倍にすれば力も 2 倍になりますが、割り算をした $E$ は動かない。

$$F=qE$$

こう書き直すと、力は電場に電荷をかけたものになります。電場を先に求めておけば、あとはどんな電荷を置いてもかけ算で済む。

点電荷がつくる電場

静電気力の式 $F=k_{0}Qq/r^2$ を $q$ で割ります。

$$E=k_0\frac{Q}{r^2}$$

$k_0$ はクーロン定数で $9.0\times 10^9\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2/{\mathrm{C}}^2$ です。距離の 2 乗に反比例し、正電荷なら外向き、負電荷なら内向き。$Q$ の符号がそのまま向きになります。

電気力線を数える

電場は矢印の集まりですが、線としてつなぐと形が見えます。ここで線の本数を決めておくと、強さまで数えられる。

電荷 $Q$ から出る線の総数を、次のように約束します。

$$N=4\pi k_{0}Q=\frac{Q}{{\epsilon }_0}$$

この決め方をすると、電場が単位面積あたりの本数と一致します。半径 $r$ の球面を貫く本数は $N$ で、球の表面積は $4\pi r^2$。

$$E=\frac{N}{4\pi r^2}=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}=k_0\frac{Q}{r^2}$$

割り算だけで点電荷の式に戻りました。本数の決め方は、この計算が合うように選んであります。

線の本数は途中で増えも減りもしません。減るのは密度だけで、球の面積が $r^2$ で広がるぶん、電場が $1/r^2$ で落ちる。

極板では距離が消える

広い極板に電荷 $Q$ を一様にのせます。出る線は $N=Q/{\epsilon }_0$ 本で、これが表と裏へ半分ずつ分かれる。

面積 $S$ の板の片側には $N/2$ 本が $S$ の広さに散らばります。

$$E=\frac{N}{2S}=\frac{Q}{2{\epsilon }_{0}S}$$

距離 $r$ が式に入っていません。板から出た線は平行に進むため、離れても広がらない。球面のように面積が増えないので、密度が落ちる理由がなくなります。

正負 2 枚の板を向かい合わせると、内側では 2 枚ぶんが重なって $E=Q/({\epsilon }_{0}S)$ になります。外側では向きが逆になり、打ち消し合う。

例：点電荷のつくる電場

$Q=5.0\times 10^{-6}\mathrm{C}$ から $0.20\mathrm{m}$ 離れた点を調べます。

$$E=9.0\times 10^9\times \frac{5.0\times 10^{-6}}{(0.20{)}^2}=1.1\times 10^{6}N/C$$

例：置いた電荷が受ける力

同じ点へ $q=3.0\times 10^{-6}\mathrm{C}$ を置きます。$F=qE$ にかけるだけ。

$$F=3.0\times 10^{-6}\times 1.1\times 10^6=3.4\mathrm{N}$$

置く電荷を $6.0\mu \mathrm{C}$ に替えれば $6.8\mathrm{N}$ になります。$E$ のほうは $1.1\times 10^{6}N/C$ のまま動きません。

例：本数から確かめる

同じ $Q$ から出る電気力線の本数を数えます。

$$N=\frac{5.0\times 10^{-6}}{8.85\times 10^{-12}}=5.6\times 10^5$$

半径 $0.20\mathrm{m}$ の球の表面積は $4\pi \times (0.20{)}^2=0.50{\mathrm{m}}^2$ です。本数を面積で割ります。

$$\frac{5.6\times 10^5}{0.50}=1.1\times 10^{6}N/C$$

前の例と同じ値になりました。$9.0\times 10^9$ が丸めた値のため、桁を増やすと末尾はわずかにずれます。

例：極板の前の電場

面積 $0.50{\mathrm{m}}^2$ の板に $5.0\times 10^{-6}\mathrm{C}$ をのせます。

$$E=\frac{5.0\times 10^{-6}}{2\times 8.85\times 10^{-12}\times 0.50}=5.6\times 10^{5}N/C$$

板から $1\mathrm{cm}$ でも $10\mathrm{cm}$ でも、この値は変わりません。点電荷なら $10$ 倍離した時点で $100$ 分の $1$ に落ちている。

電場を求める手順は、どの配置でも同じです。電荷から出る本数を決め、その本数が散らばる面の広さを見て、割る。面が球なら $1/r^2$、平面なら距離によらない値になります。