速さが 2 倍なら運動エネルギーは 4 倍（車が止まるまでの距離で見る）

時速 $40\mathrm{km}$ で走る車と、時速 $80\mathrm{km}$ で走る同じ車。ブレーキを踏んでから止まるまでの距離は、$2$ 倍ではなく $4$ 倍になります。

速さを $2$ 倍にすると $4$ 倍になる量が、車のなかに溜まっている。それが運動エネルギーです。

質量に比例し、速さの 2 乗に比例する

質量 $m$ の物体が速さ $v$ で動いているとき、運動エネルギー $K$ は次の式で決まります。

$$K=\frac{1}{2}m{v}^2$$

$m$ は $1$ 乗、$v$ は $2$ 乗。ここが効きます。質量を $2$ 倍にすると $K$ も $2$ 倍ですが、速さを $2$ 倍にすると $4$ 倍になる。

単位はジュール（記号 $\mathrm{J}$）です。$1\mathrm{kg}$ の物体が $1m/s$ で動いていれば $0.5\mathrm{J}$。

例：$1500\mathrm{kg}$ の車

時速 $40\mathrm{km}$ は秒速に直すと $11m/s$ です。$40÷3.6=11.1$ という割り算になる。

$$K=\frac{1}{2}\times 1500\times 11.1^2=9.3\times 10^4\mathrm{J}$$

時速 $80\mathrm{km}$ なら $22.2m/s$ で、同じ式に入れます。

$$K=\frac{1}{2}\times 1500\times 22.2^2=3.7\times 10^5\mathrm{J}$$

$9.3$ 万と $37$ 万で、ちょうど $4$ 倍。速さが $2$ 倍になると、$v^2$ の部分が $2^2=4$ 倍になるためです。

重いより速いほうが効く

$200\mathrm{kg}$ の力士がゆっくり歩いてくる場面と、$45\mathrm{kg}$ の人が全力で走ってくる場面を比べます。

歩く速さを $2.0m/s$、走る速さを $5.0m/s$ としました。

質量は $4.4$ 倍も違うのに、運動エネルギーは軽いほうが大きい。速さの差が $2.5$ 倍あり、$2$ 乗されて $6.3$ 倍になるためです。

止まるまでの距離も 2 乗で伸びる

冒頭の $4$ 倍は、ここから出ます。ブレーキの効き方が同じなら、車は一定の割合で減速する。

等加速度直線運動の式 $v^2=2as$ を、距離について解きます。

$$s=\frac{v^2}{2a}$$

距離 $s$ が $v^2$ に比例しています。減速の大きさを $a=6.0m/{\mathrm{s}}^2$ として、$2$ つの速さを入れる。

$$\frac{11.1^2}{2\times 6.0}=10\mathrm{m},\frac{22.2^2}{2\times 6.0}=41\mathrm{m}$$

$10\mathrm{m}$ と $41\mathrm{m}$。速さが $2$ 倍なら、止まるまでの距離も $4$ 倍になる。

速度制限が $20km/h$ 下がるだけで止まる距離が大きく縮むのは、この $2$ 乗のためです。

ジュールがどれくらいか

$1\mathrm{J}$ は、$1\mathrm{N}$ の力で物体を $1\mathrm{m}$ 動かすときの量です。$1\mathrm{N}$ は $100\mathrm{g}$ ほどの物を支える力になる。

身のまわりの値を並べます。

ボールは軽いので、速くても車とは桁がまるで違う。$1\mathrm{kg}$ の物を $1\mathrm{m}$ 持ち上げるのに要るのが約 $9.8\mathrm{J}$ なので、自転車の $1000\mathrm{J}$ は $1\mathrm{kg}$ を $100\mathrm{m}$ 持ち上げる量にあたります。

速さの $2$ 乗という一点だけで、この量のふるまいはほとんど決まります。ぶつかったときの効き方も、止まるまでの距離も、そこから読めます。