指数関数はなぜ多項式より速く増えるのか？2 の x 乗と x の 2 乗

指数関数は、多項式で表される関数より速く増えます。 $y = 2^{x}$ と $y = x^{2}$ を並べると、 $x = 2$ と $x = 4$ でいったん値がそろい、そこから離れていく。

x	2 の x 乗	x の 2 乗
0	1	0
2	4	4
4	16	16
5	32	25
10	1024	100
15	32768	225
20	1048576	400

$x = 5$ までは差がわずかですが、 $x = 20$ では 1048576 と 400 で 2600 倍以上ひらきます。

指数関数の「次数」

差がここまで大きくなるのは、指数関数の次数が止まらないためです。 $e^{x}$ を多項式の形に開くと、項が無限に続きます。

$e^{x} = n = 0 \sum \infty \frac{x ^{n}}{n !} = 1 + x + \frac{x ^{2}}{2 !} + \frac{x ^{3}}{3 !} + \frac{x ^{4}}{4 !} + \dots$

$x^{10000}$ の項もこの和のどこかに入っているため、 $x^{10000}$ という多項式でも指数関数には追いつけません。この開き方はテイラー展開といって、大学で扱います。

極限での使いみち

分母に指数関数、分子に多項式を置いた式は、 $x$ を大きくすると $0$ に近づきます。

$x \to \infty lim \frac{a _{n} x ^{n} + a _{n - 1} x ^{n - 1} + \dots + a _{1} x + a _{0}}{e ^{x}} = 0$

分子の次数がいくつであっても行き先は変わらない。分母の指数関数のほうが、いつかかならず上回るためです。

$y = 2^x$ と $y = x^2$ を $x = 20$ まで並べると、前者が 1048576 で後者が 400。$x = 5$ あたりまでは差がつかず、そこから一気に離れます。テイラー展開で $e^x$ を書くと項が無限に続くため、どんな次数の多項式も追いつけない。分母に指数関数、分子に多項式を置いた極限が $0$ に収束するのはこのためです。