指数関数はなぜ多項式より速く増えるのか？2 の x 乗と x の 2 乗

指数関数は、多項式で表される関数より速く増えます。$y=2^x$ と $y=x^2$ を並べると、$x=2$ と $x=4$ でいったん値がそろい、そこから離れていく。

$x=5$ までは差がわずかですが、$x=20$ では 1048576 と 400 で 2600 倍以上ひらきます。

指数関数の「次数」

差がここまで大きくなるのは、指数関数の次数が止まらないためです。$e^x$ を多項式の形に開くと、項が無限に続きます。

$$\begin{array}{rl}{e}^x& =\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}\\ & =1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots \end{array}$$

$x^{10000}$ の項もこの和のどこかに入っているため、$x^{10000}$ という多項式でも指数関数には追いつけません。この開き方はテイラー展開といって、大学で扱います。

極限での使いみち

分母に指数関数、分子に多項式を置いた式は、$x$ を大きくすると $0$ に近づきます。

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0}{e^x}=0$$

分子の次数がいくつであっても行き先は変わらない。分母の指数関数のほうが、いつかかならず上回るためです。