指数・対数関数の公式｜指数法則と対数法則と底の変換公式の証明

高校数学Ⅱの指数関数・対数関数で習う指数法則と対数法則をまとめました。

$a$ の $n$ 乗と $a$ の $m$ 乗をかけ算すると $a$ の $m + n$ 乗になります。こうした法則を指数法則といいますが、指数法則は指数関数を勉強するうえで必要になる公式です。

指数法則の公式

$a$ と $b$ は $0$ より大きいとする。 $m$ と $n$ は任意の実数で整数とはかぎらない。

$a^{m} a^{n} = a^{m + n} \frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n} (a^{m})^{n} = a^{mn} (ab)^{n} = a^{n} b^{n} (\frac{a}{b})^{n} = \frac{a ^{n}}{b ^{n}}$

$a$ の $n$ 乗と $a$ の $m$ 乗をかけ算すると $a$ の $m + n$ 乗になり、 $a$ の $n$ 乗を $a$ の $m$ 乗で割ると $a$ の $m - n$ 乗になっています。かけ算が足し算、割り算が引き算になっていることに注意しましょう。

「 $a$ の $m$ 乗」の $n$ 乗は $a$ の $mn$ 乗です。べき乗のべき乗は、べきのかけ算になります。

指数法則の例

上の指数法則が正しいことを具体的に確かめてみましょう。まずは指数の足し算から。

$2^{3} \cdot 2^{4} = 8 \cdot 16 = 128 = 2^{7}$

$2$ の肩に乗っている数はそれぞれ $3$ と $4$ で、 $128$ は $2$ の $7$ 乗です。 $7$ は $3 + 4$ であり、上の指数法則がきちんと成り立っていることがわかります。

$2^{8} \div 2^{3} = 256 \cdot 16 = 128 = 2^{7}$

$2$ の肩に乗っている数はそれぞれ $8$ と $3$ で、 $64$ は $2$ の $5$ 乗です。 $5$ は $8 - 3$ です。もともとの数の割り算は、指数では引き算になることがわかります。

対数法則

$a$ は $0$ より大きく $1$ でない実数。 $x$ と $y$ は $0$ より大きい任意の実数。

$a^{l o g_{a} x} = x lo g_{a} x y = lo g_{a} x + lo g_{a} y lo g_{a} \frac{x}{y} = lo g_{a} x - lo g_{a} y lo g_{a} \frac{1}{x} = - lo g_{a} x lo g_{a} x^{n} = n lo g_{a} x lo g_{a} x = \frac{lo g _{b} x}{lo g _{b} a} lo g_{a} x = \frac{1}{lo g _{x} a} (x \neq = 1) lo g_{\frac{1}{a}} x = - lo g_{a} x$

指数から対数への変換

$2^{3} = 8 \to 3 = lo g_{2} 8 3^{2} = 9 \to 2 = lo g_{3} 9 2^{0} = 1 \to 0 = lo g_{2} 1 5^{0} = 8 \to 0 = lo g_{5} 1 3^{- 3} = \frac{1}{27} \to - 3 = lo g_{3} \frac{1}{27} 4^{- 2} = \frac{1}{16} \to - 2 = lo g_{4} \frac{1}{16} (\frac{1}{2})^{3} = \frac{1}{8} \to 3 = lo g_{\frac{1}{2}} \frac{1}{8} (\frac{1}{3})^{4} = \frac{1}{81} \to 4 = lo g_{\frac{1}{3}} \frac{1}{81}$

対数から指数への変換

$lo g_{3} 27 = 3 \to 3^{3} = 27 lo g_{2} 16 = 4 \to 2^{4} = 16 lo g_{4} 1 = 0 \to 4^{0} = 1 lo g_{9} 1 = 0 \to 9^{0} = 1 lo g_{2} \frac{1}{32} = - 5 \to 2^{- 5} = \frac{1}{32} lo g_{7} \frac{1}{49} = - 2 \to 7^{- 2} = \frac{1}{49} lo g_{\frac{1}{3}} \frac{1}{9} = 2 \to (\frac{1}{3})^{2} = \frac{1}{9} lo g_{\frac{1}{5}} \frac{1}{125} = 3 \to (\frac{1}{5})^{3} = \frac{1}{125}$

底の変換公式

次の式を底の変換公式という。

$lo g_{a} x = \frac{lo g _{b} x}{lo g _{b} a}$

これは二つの対数法則から証明される。

$a^{l o g_{a} x} = x lo g_{a} x^{n} = n lo g_{a} x$

証明

$(lo g_{a} x) (lo g_{b} a) = lo g_{b} a^{l o g_{a} x} = lo g_{b} x$

となり、両辺を $lo g_{b} a$ で割って

$lo g_{a} x = \frac{lo g _{b} x}{lo g _{b} a}$

となる。

高校数学Ⅱの指数関数・対数関数で習う指数法則と対数法則のまとめ。底の変換公式とその証明。