指数関数は二次関数どころか 10000 次関数より「強い」

指数関数は多項式で表される関数（二次関数など）より早く発散します。下表は $y=2^x$ と $y=x^2$ の比較です。

$x$ が $5$ くらいまではそれほど差はないものの、やがて加速度的に差がついています。指数関数がいかに『強い』関数かわかりますね。

指数関数は無限次関数である

なぜ指数関数はここまで強いか。それは指数関数の「次数」が無限だからです。

指数関数は多項式と根本的に異なりますが、実は多項式のように書けます。これ以上は大学の範囲（テイラー展開）ですが、指数関数を多項式のように表すと無限次関数になります。

\begin{split} e^x &= \sum_{n=0}^\infty \dfrac{x^n}{n!} \\ &= 1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^4}{4!}+\cdots \end{split}

テイラー展開によって指数関数が無限次の関数であり、どんな多項式も指数関数に勝てないことがわかります。

指数関数が絡む極限の問題は簡単な場合が多い

以上の指数関数の性質から次の公式（？）が得られます。

\[ \lim_{x\to\infty}\dfrac{a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_1 x + a_0}{e^x}=0 \]

分母に指数関数、分子に多項式があるような関数はたいてい $x \rightarrow \infty$ で $0$ に収束します。