2×2 行列（2 次正方行列）の和と積｜足し算・かけ算・スカラー倍の計算

行列は数を長方形に並べたものです。横の並びを行、縦の並びを列という。

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$$

この $A$ は行が 2 本、列が 2 本なので 2 次正方行列と呼ぶ。並んでいる 1 つ 1 つの数が成分です。

行列どうしの足し算と引き算は、同じ位置の成分をそのまま計算するだけです。ところが掛け算は事情が違い、行と列を向き合わせて作る。この差が行列の計算のいちばんの特徴になっている。

素直に見えるのは足し算のほうですが、行列が道具として役に立つのは掛け算があるからです。形が変わっているのは偶然ではなく、行列がベクトルを移す仕組みがそのまま表れている。

行と列と成分

成分の位置は、行の番号と列の番号の組で指す。$i$ 行 $j$ 列にある成分を $a_{ij}$ と書きます。

行が先、列が後という順番。$a_{12}$ は 1 行目の 2 列目にある成分で、$a_{21}$ とは別のものになります。

さきほどの $A$ なら $a_{11}=1$、$a_{12}=2$、$a_{21}=3$、$a_{22}=4$ です。行を左から右へ読んでいき、読み終えたら次の行へ移る。

この順番は最後まで変わらない。逆行列でも行列式でも、添字の 1 つ目は行、2 つ目は列です。

行と列のどちらが横でどちらが縦かは、単なる決めごと。漢字の形から、行は横棒が重なった形、列は縦に切り分ける形と結びつける覚え方が使われる。

2 次正方行列

行の数と列の数が等しい行列を正方行列という。2 行 2 列なら 2 次正方行列です。

行と列の本数の組を型と呼ぶ。2 行 3 列なら $2\times 3$ 型で、この形は正方行列になりません。

この記事では 2 次正方行列だけを扱います。行と列の本数が違う行列にも積は定義できるが、掛けられる型の組み合わせに条件が付く。

正方行列に話を絞るのは、都合のよい性質がそろっているからです。同じ型どうしなので足し算も掛け算も常にでき、掛けた結果も同じ型で戻ってくる。

行列が等しいということ

2 つの行列が等しいのは、型が同じで、対応する成分がすべて等しいときです。

$$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}x& y\\ z& w\end{array}\right)$$

この 1 本の式は、$a=x$、$b=y$、$c=z$、$d=w$ という 4 本の等式をまとめたもの。

行列の等式は、成分の数だけ等式を抱えている。この見方は、連立方程式を行列 1 本で書くときにそのまま効いてきます。

和と差

型が同じ行列どうしは足せる。同じ位置の成分を足すだけです。

$$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}x& y\\ z& w\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a+x& b+y\\ c+z& d+w\end{array}\right)$$

差も同じ要領で、同じ位置の成分を引く。位置がずれた成分どうしを組み合わせることはありません。

型が違えば足せません。2 行 2 列と 2 行 3 列の和は、そもそも定義されていない。

成分の位置には意味がある。$(1,2)$ 成分どうし、$(2,1)$ 成分どうしが対応する相手で、この対応が付かない相手とは足せません。型がそろっているというのは、対応が付くための条件。

例：和を計算する

数を入れて確かめる。

$$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}100& 200\\ 300& 400\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}101& 202\\ 303& 404\end{array}\right)$$

$(1,1)$ 成分は $1+100=101$、$(1,2)$ 成分は $2+200=202$ です。残りの 2 つも同じ調子で埋まる。

考えることは何もない。4 か所で数の足し算をしているだけです。

例：差を計算する

引き算も位置ごとに進める。

$$\left(\begin{array}{cc}10& 10\\ 10& 10\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ 5& 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}7& 6\\ 5& 4\end{array}\right)$$

左上から順に $10-3$、$10-4$、$10-5$、$10-6$ です。

引く順を入れ替えると、すべての成分の符号が変わる。数の引き算と同じで、行列でも順序は結果を変えます。

スカラー倍

数を掛けるときは、すべての成分に掛ける。

$$m\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}ma& mb\\ mc& md\end{array}\right)$$

このときの $m$ をスカラーと呼ぶ。行列と区別するための言い方です。行列そのものを掛ける話とは別ものになる。

$-1$ を掛ければ全部の符号が反転する。差はこれを使って $A-B=A+(-1)B$ と書き直せるので、引き算を独立した演算と見る必要はありません。

例：スカラー倍を計算する

$3$ を掛けてみます。

$$3\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 4& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& -6\\ 12& 0\end{array}\right)$$

負の成分にも $0$ にも、同じように掛ける。$0$ に掛けた結果は $0$ のままです。

一部の成分だけに掛ける、という操作ではありません。行や列を選んで定数倍するのは、基本変形という別の話になる。

零行列

成分がすべて $0$ の行列を零行列といい、$O$ と書く。

$$O=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$$

どの行列に足しても相手は変わらない。$A+O=A$ が成り立ち、数の $0$ と同じ役どころです。

$A-A=O$ にもなる。同じ成分どうしが引き算で消えるからです。

零行列は掛け算でも $0$ のようにふるまい、$AO=OA=O$ です。ただし積が $O$ でも両方が $O$ とはかぎらない。この点だけは数と違う。

和について成り立つ法則

足す順番は入れ替えられる。

$$A+B=B+A$$

3 つ以上の和では、どこから足しても同じ結果です。成分ごとに数の足し算をしているだけなので、数の法則がそのまま移る。

スカラー倍も分配する。$m(A+B)=mA+mB$ と $(m+n)A=mA+nA$ が、どちらも成り立ちます。

和については、数の計算と同じ感覚で進められる。事情が変わるのは積のほうです。

積の作り方

積は成分ごとではありません。左の行と右の列を向き合わせ、掛けて足したものが成分。

$$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}x& y\\ z& w\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}ax+bz& ay+bw\\ cx+dz& cy+dw\end{array}\right)$$

$(1,1)$ 成分は左の 1 行目と右の 1 列目から作る。$(1,2)$ 成分なら、左の 1 行目と右の 2 列目です。

行の番号は左の行列から、列の番号は右の行列から来る。掛け算の記号は、数のときと同じように省きます。

左の行と右の列の内積、とも言いかえられます。行と列をそれぞれベクトルと見れば、成分の積を足した形そのものだからです。

2 次なら成分が 4 つあり、それぞれに 2 つの積と 1 つの和が要る。掛け算は 8 回、足し算は 4 回です。足し算が 4 回で済むのに比べると、手間はかなり増える。

行がいくつあっても、列がいくつあっても、作り方は変わらない。左の $i$ 行目と右の $j$ 列目から $(i,j)$ 成分を作る、という規則だけ。

例：積を計算する

数を入れて 4 つの成分を順に作る。

$$\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 4& 5\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}8& 3\\ 14& 5\end{array}\right)$$

$(1,1)$ 成分は $2\cdot 1+3\cdot 2=8$、$(1,2)$ 成分は $2\cdot 0+3\cdot 1=3$ です。

2 行目も同じで、$(2,1)$ 成分が $4\cdot 1+5\cdot 2=14$、$(2,2)$ 成分が $4\cdot 0+5\cdot 1=5$ になる。

例：負の数が混じる積

符号が入っても手順は変わらない。

$$\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ -7& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}4& 5\\ -1& -8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}6& 21\\ -31& -59\end{array}\right)$$

$(1,1)$ 成分は $1\cdot 4+(-2)\cdot (-1)=4+2=6$ です。負どうしの積が正になるところでとり違えやすい。

$(2,2)$ 成分は $(-7)\cdot 5+3\cdot (-8)=-35-24=-59$ になる。括弧を付けたまま計算すると符号を落としにくくなります。

単位行列

対角に $1$ が並び、ほかが $0$ の行列を単位行列といい、$I$ と書く。

$$I=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$

どちらから掛けても相手は変わらない。

$$AI=IA=A$$

数の $1$ と同じ役どころです。積について順序が問題にならない、数少ない相手でもある。

対角に並ぶ成分を対角成分という。単位行列は対角成分がすべて $1$ で、それ以外が $0$ の行列です。$1$ を全部の成分に置いたものではありません。

相手が変わらない理由は、成分を作る式に出ている。$0$ を掛けた項が消えるので、対角の $1$ が拾った成分だけが残ります。

例：単位行列を掛ける

実際に計算して確かめる。

$$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 4& 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 4& 5\end{array}\right)$$

$(1,1)$ 成分は $1\cdot 2+0\cdot 4=2$ です。ほかの成分も、対角の $1$ が拾った値がそのまま出てくる。

右から掛けても同じ結果になる。単位行列だけは、どちらから掛けるかを気にせずに済みます。

順序を変えると値が変わる

積では、掛ける順番が結果を変える。

$$AB\ne BA$$

数の掛け算とも、行列の足し算とも違うところです。$AB$ と書いてあるものを $BA$ に読み替えることはできない。

型が同じでも起きる。2 次正方行列どうしなら $AB$ も $BA$ もどちらも計算できますが、値はまず一致しません。

一致する組もある。単位行列や零行列が相手のとき、同じ行列どうしのとき、逆行列どうしのときです。こうした組を可換であるという。

たまたま一致した組があっても、いつでも入れ替えられるわけではない。等式を変形するときは、左から掛けるのか右から掛けるのかで結果が変わります。

例：順序を入れ替えて確かめる

次の 2 つで両方の順序を計算する。

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$$

$AB$ を作ると $(1,1)$ 成分が $1\cdot 1+1\cdot 1=2$ になる。

$$AB=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right),BA=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$$

$2$ が現れる位置が左上と右下で入れ替わっている。成分の顔ぶれは同じでも、並びが違えば別の行列です。

よくある誤り

参考文献