2×2 行列（2 次正方行列）の和と積｜足し算・かけ算・スカラー倍の計算

行列は数を長方形に並べたものです。横の並びを行、縦の並びを列という。

$A = (1324)$

この $A$ は行が 2 本、列が 2 本なので 2 次正方行列と呼ぶ。並んでいる 1 つ 1 つの数が成分です。

行列どうしの足し算と引き算は、同じ位置の成分をそのまま計算するだけです。ところが掛け算は事情が違い、行と列を向き合わせて作る。この差が行列の計算のいちばんの特徴になっている。

素直に見えるのは足し算のほうですが、行列が道具として役に立つのは掛け算があるからです。形が変わっているのは偶然ではなく、行列がベクトルを移す仕組みがそのまま表れている。

行と列と成分

成分の位置は、行の番号と列の番号の組で指す。 $i$ 行 $j$ 列にある成分を $a_{ij}$ と書きます。

行が先、列が後という順番。 $a_{12}$ は 1 行目の 2 列目にある成分で、 $a_{21}$ とは別のものになります。

さきほどの $A$ なら $a_{11} = 1$ 、 $a_{12} = 2$ 、 $a_{21} = 3$ 、 $a_{22} = 4$ です。行を左から右へ読んでいき、読み終えたら次の行へ移る。

この順番は最後まで変わらない。逆行列でも行列式でも、添字の 1 つ目は行、2 つ目は列です。

行と列のどちらが横でどちらが縦かは、単なる決めごと。漢字の形から、行は横棒が重なった形、列は縦に切り分ける形と結びつける覚え方が使われる。

2 次正方行列

行の数と列の数が等しい行列を正方行列という。2 行 2 列なら 2 次正方行列です。

行と列の本数の組を型と呼ぶ。2 行 3 列なら $2 \times 3$ 型で、この形は正方行列になりません。

この記事では 2 次正方行列だけを扱います。行と列の本数が違う行列にも積は定義できるが、掛けられる型の組み合わせに条件が付く。

正方行列に話を絞るのは、都合のよい性質がそろっているからです。同じ型どうしなので足し算も掛け算も常にでき、掛けた結果も同じ型で戻ってくる。

行列が等しいということ

2 つの行列が等しいのは、型が同じで、対応する成分がすべて等しいときです。

$(a c b d) = (x z y w)$

この 1 本の式は、 $a = x$ 、 $b = y$ 、 $c = z$ 、 $d = w$ という 4 本の等式をまとめたもの。

行列の等式は、成分の数だけ等式を抱えている。この見方は、連立方程式を行列 1 本で書くときにそのまま効いてきます。

和と差

型が同じ行列どうしは足せる。同じ位置の成分を足すだけです。

$(a c b d) + (x z y w) = (a + x c + z b + y d + w)$

差も同じ要領で、同じ位置の成分を引く。位置がずれた成分どうしを組み合わせることはありません。

型が違えば足せません。2 行 2 列と 2 行 3 列の和は、そもそも定義されていない。

成分の位置には意味がある。 $(1, 2)$ 成分どうし、 $(2, 1)$ 成分どうしが対応する相手で、この対応が付かない相手とは足せません。型がそろっているというのは、対応が付くための条件。

例：和を計算する

数を入れて確かめる。

$(1324) + (100300200400) = (101303202404)$

$(1, 1)$ 成分は $1 + 100 = 101$ 、 $(1, 2)$ 成分は $2 + 200 = 202$ です。残りの 2 つも同じ調子で埋まる。

考えることは何もない。4 か所で数の足し算をしているだけです。

例：差を計算する

引き算も位置ごとに進める。

$(10101010) - (3546) = (7564)$

左上から順に $10 - 3$ 、 $10 - 4$ 、 $10 - 5$ 、 $10 - 6$ です。

引く順を入れ替えると、すべての成分の符号が変わる。数の引き算と同じで、行列でも順序は結果を変えます。

スカラー倍

数を掛けるときは、すべての成分に掛ける。

$m (a c b d) = (ma m c mb m d)$

このときの $m$ をスカラーと呼ぶ。行列と区別するための言い方です。行列そのものを掛ける話とは別ものになる。

$- 1$ を掛ければ全部の符号が反転する。差はこれを使って $A - B = A + (- 1) B$ と書き直せるので、引き算を独立した演算と見る必要はありません。

例：スカラー倍を計算する

$3$ を掛けてみます。

$3 (14 - 2 0) = (312 - 6 0)$

負の成分にも $0$ にも、同じように掛ける。 $0$ に掛けた結果は $0$ のままです。

一部の成分だけに掛ける、という操作ではありません。行や列を選んで定数倍するのは、基本変形という別の話になる。

零行列

成分がすべて $0$ の行列を零行列といい、 $O$ と書く。

$O = (0000)$

どの行列に足しても相手は変わらない。 $A + O = A$ が成り立ち、数の $0$ と同じ役どころです。

$A - A = O$ にもなる。同じ成分どうしが引き算で消えるからです。

零行列は掛け算でも $0$ のようにふるまい、 $A O = O A = O$ です。ただし積が $O$ でも両方が $O$ とはかぎらない。この点だけは数と違う。

和について成り立つ法則

足す順番は入れ替えられる。

$A + B = B + A$

3 つ以上の和では、どこから足しても同じ結果です。成分ごとに数の足し算をしているだけなので、数の法則がそのまま移る。

スカラー倍も分配する。 $m (A + B) = m A + m B$ と $(m + n) A = m A + n A$ が、どちらも成り立ちます。

和については、数の計算と同じ感覚で進められる。事情が変わるのは積のほうです。

積の作り方

積は成分ごとではありません。左の行と右の列を向き合わせ、掛けて足したものが成分。

$(a c b d) (x z y w) = (a x + b z c x + d z a y + b w cy + d w)$

$(1, 1)$ 成分は左の 1 行目と右の 1 列目から作る。 $(1, 2)$ 成分なら、左の 1 行目と右の 2 列目です。

行の番号は左の行列から、列の番号は右の行列から来る。掛け算の記号は、数のときと同じように省きます。

左の行と右の列の内積、とも言いかえられます。行と列をそれぞれベクトルと見れば、成分の積を足した形そのものだからです。

2 次なら成分が 4 つあり、それぞれに 2 つの積と 1 つの和が要る。掛け算は 8 回、足し算は 4 回です。足し算が 4 回で済むのに比べると、手間はかなり増える。

行がいくつあっても、列がいくつあっても、作り方は変わらない。左の $i$ 行目と右の $j$ 列目から $(i, j)$ 成分を作る、という規則だけ。

例：積を計算する

数を入れて 4 つの成分を順に作る。

$(2435) (1201) = (81435)$

$(1, 1)$ 成分は $2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 = 8$ 、 $(1, 2)$ 成分は $2 \cdot 0 + 3 \cdot 1 = 3$ です。

2 行目も同じで、 $(2, 1)$ 成分が $4 \cdot 1 + 5 \cdot 2 = 14$ 、 $(2, 2)$ 成分が $4 \cdot 0 + 5 \cdot 1 = 5$ になる。

例：負の数が混じる積

符号が入っても手順は変わらない。

$(1 - 7 - 2 3) (4 - 1 5 - 8) = (6 - 31 21 - 59)$

$(1, 1)$ 成分は $1 \cdot 4 + (- 2) \cdot (- 1) = 4 + 2 = 6$ です。負どうしの積が正になるところでとり違えやすい。

$(2, 2)$ 成分は $(- 7) \cdot 5 + 3 \cdot (- 8) = - 35 - 24 = - 59$ になる。括弧を付けたまま計算すると符号を落としにくくなります。

単位行列

対角に $1$ が並び、ほかが $0$ の行列を単位行列といい、 $I$ と書く。

$I = (1001)$

どちらから掛けても相手は変わらない。

$A I = I A = A$

数の $1$ と同じ役どころです。積について順序が問題にならない、数少ない相手でもある。

対角に並ぶ成分を対角成分という。単位行列は対角成分がすべて $1$ で、それ以外が $0$ の行列です。 $1$ を全部の成分に置いたものではありません。

相手が変わらない理由は、成分を作る式に出ている。 $0$ を掛けた項が消えるので、対角の $1$ が拾った成分だけが残ります。

例：単位行列を掛ける

実際に計算して確かめる。

$(1001) (2435) = (2435)$

$(1, 1)$ 成分は $1 \cdot 2 + 0 \cdot 4 = 2$ です。ほかの成分も、対角の $1$ が拾った値がそのまま出てくる。

右から掛けても同じ結果になる。単位行列だけは、どちらから掛けるかを気にせずに済みます。

順序を変えると値が変わる

積では、掛ける順番が結果を変える。

$A B \neq = B A$

数の掛け算とも、行列の足し算とも違うところです。 $A B$ と書いてあるものを $B A$ に読み替えることはできない。

型が同じでも起きる。2 次正方行列どうしなら $A B$ も $B A$ もどちらも計算できますが、値はまず一致しません。

一致する組もある。単位行列や零行列が相手のとき、同じ行列どうしのとき、逆行列どうしのときです。こうした組を可換であるという。

たまたま一致した組があっても、いつでも入れ替えられるわけではない。等式を変形するときは、左から掛けるのか右から掛けるのかで結果が変わります。

例：順序を入れ替えて確かめる

次の 2 つで両方の順序を計算する。

$A = (1011), B = (1101)$

$A B$ を作ると $(1, 1)$ 成分が $1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 2$ になる。

$A B = (2111), B A = (1112)$

$2$ が現れる位置が左上と右下で入れ替わっている。成分の顔ぶれは同じでも、並びが違えば別の行列です。

よくある誤り

積を成分ごとの掛け算だと思うと、まったく違う行列が出る。向き合わせるのは左の行と右の列です。

添字の順をとり違えると位置がずれます。

a_{12}

は 1 行 2 列であって、2 行 1 列ではない。

A B

を

B A

に書き換えた時点で、それは別の計算になる。読み替えは効きません。

型が違う行列の和は定義されていません。成分の数が合わないので、足しようがない。

スカラー倍はすべての成分に掛かる。一部だけに掛けるのは基本変形という別の操作です。

A + O = A

と

A O = O

は別の話。零行列は足し算では素通りし、掛け算では潰す。

単位行列の成分をすべて

1

にするのはよくあるとり違えです。

1

が並ぶのは対角だけ。

行列の等式 1 本は、成分の数だけ等式を抱えている。1 本と数えると条件の数をとり違える。

参考文献

Matrix (mathematics) - Wikipedia

Matrix multiplication - Wikipedia

Matrix (Mathematik) - Wikipedia（ドイツ語）

Matrice (mathématiques) - Wikipédia（フランス語）

矩阵 - 维基百科（中国語）

Matriz (matemáticas) - Wikipedia（スペイン語）

行列の計算は、和が素直で積が変わっています。同じ位置どうしを足すだけの和と、左の行と右の列を向き合わせる積を並べて確かめ、零行列と単位行列の役どころ、順序を入れ替えると値が変わることまで、2 次正方行列に絞って進みます。