2次正方行列（2×2行列）の逆行列の定義と公式

$2$ 次正方行列 $A,B$ が

$$AB=I$$

をみたすとき，$B$ を $A$ の逆行列，または $A$ を $B$ の逆行列 invertible matrix という．$A$ の逆行列を $A^{-1}$ と書く．

逆行列の例

$$\left(\begin{array}{cc}3& 5\\ 1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& -5\\ -1& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$

だから

$$\left(\begin{array}{cc}3& 5\\ 1& 2\end{array}\right)$$

は

$$\left(\begin{array}{cc}2& -5\\ -1& 3\end{array}\right)$$

の逆行列．

逆行列の公式

$$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$$

の逆行列 $A^{-1}$ は

$$\begin{gathered} A^{-1} \\ =\left(\begin{array}{cc}\frac{d}{|A|}& \frac{-b}{|A|}\\ \frac{-c}{|A|}& \frac{a}{|A|}\end{array}\right) \\ =\frac{1}{|A|}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right) \end{gathered}$$

となる．$\Vert A\Vert$ は $A$ の行列式．この行列がもとの行列の逆行列になっているか確かめよう．

$$\begin{gathered} A{A}^{-1} \\ =\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\frac{d}{|A|}& \frac{-b}{|A|}\\ \frac{-c}{|A|}& \frac{a}{|A|}\end{array}\right) \\ =\left(\begin{array}{cc}\frac{ad-bc}{|A|}& 0\\ 0& \frac{ad-bc}{|A|}\end{array}\right) \\ =\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right) \end{gathered}$$

そして

$$A{A}^{-1}=A^{-1}A=I$$

がなりたつ．

逆行列の計算例 $1$

$$A=\left(\begin{array}{cc}7& 3\\ 2& 1\end{array}\right)$$

$$|A|=7\times 1-3\times 2=1$$

$$A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& -3\\ -2& 7\end{array}\right)$$

逆行列の計算例 $2$

$$A=\left(\begin{array}{cc}9& 4\\ 4& 2\end{array}\right)$$

$$|A|=9\times 2-4\times 4=2$$

$$\begin{gathered} A^{-1} \\ =\left(\begin{array}{cc}\frac{2}{2}& \frac{-4}{2}\\ \frac{-4}{2}& \frac{9}{2}\end{array}\right) \\ =\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ -2& \frac{9}{2}\end{array}\right) \end{gathered}$$