2 次正方行列の逆行列｜定義・公式・行列式が 0 のとき存在しない理由

逆行列とは、かけると単位行列になる相手のことである。実数でいえば逆数にあたる。

2 次正方行列の和と積で、行列にも積があり、単位行列 $I$ が実数の $1$ と同じはたらきをすることを見た。では実数の逆数にあたるものは何になるか。

以下では定義から始め、16 個の計算例を 1 つずつ手で追う。公式の意味、行列式が $0$ だと逆行列がない理由、逆行列どうしの性質まで扱う。

逆行列の定義

2 次正方行列 $A$, $B$ が次をみたすとする。

$$AB=I$$

このとき $B$ を $A$ の逆行列、または $A$ を $B$ の逆行列という。英語では inverse matrix である。

$A$ の逆行列を $A^{-1}$ と書く。実数のマイナス 1 乗が逆数を表すのと同じ書き方である。

直観: 逆行列は割り算にあたる

実数の世界では、$3x=7$ を両辺 $3$ で割って解く。割るとは $\frac{1}{3}$ をかけることで、$3\times \frac{1}{3}=1$ が効いている。

行列には割り算が定義されていない。代わりに、かけて $I$ になる行列を用意しておく。それが逆行列である。

$$\frac{1}{3}\times 3=1,A^{-1}A=I$$

$1$ の位置に $I$ が入っただけで、やっていることは同じである。

直観: もとに戻す変換

行列はベクトルを別のベクトルへ送る。$A$ が $v$ を $Av$ へ動かすなら、$A^{-1}$ はそれをもとの $v$ へ引き戻す。

$$A^{-1}(Av)=(A^{-1}A)v=Iv=v$$

行って戻れば出発点である。逆行列とは、$A$ がした変換を取り消す行列だといってよい。

<svg viewBox="0 0 660 300" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:100%;height:auto;display:block;margin:0 auto"><defs><marker id="iv-a" viewBox="0 0 10 10" refX="9" refY="5" markerWidth="7" markerHeight="7" orient="auto"><path d="M 0 0 L 10 5 L 0 10 z" fill="#1b81e0"/></marker></defs><line x1="165" y1="230" x2="530" y2="230" stroke="#8a8a8a" stroke-width="1"/><line x1="200" y1="275" x2="200" y2="70" stroke="#8a8a8a" stroke-width="1"/><text x="188" y="248" font-size="11" fill="#8a8a8a">O</text><path d="M 240 190 C 300 140 380 118 448 127" fill="none" stroke="#1b81e0" stroke-width="2" marker-end="url(#iv-a)"/><path d="M 452 143 C 384 174 306 192 242 205" fill="none" stroke="#1b81e0" stroke-width="2" marker-end="url(#iv-a)"/><text x="340" y="112" font-size="14" fill="#1b81e0" text-anchor="middle">A</text><text x="340" y="216" font-size="14" fill="#1b81e0" text-anchor="middle">A<tspan font-size="10" dy="-5">-1</tspan></text><circle cx="232" cy="198" r="4" fill="#1b81e0"/><circle cx="456" cy="134" r="4" fill="#1b81e0"/><text x="206" y="188" font-size="12" fill="#1b81e0">v</text><text x="466" y="130" font-size="12" fill="#1b81e0">Av</text><text x="348" y="272" font-size="12" fill="#8a8a8a" text-anchor="middle">送って戻せば出発点にいる</text></svg>

$A$ で送った先から $A^{-1}$ で引き返すと、もとの点に戻る。この往復ができるかどうかが、あとで見る存在条件につながる。

計算例: かけて単位行列になることを確かめる

次の 2 つの行列を用意する。

$$A=\left(\begin{array}{cc}3& 5\\ 1& 2\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}2& -5\\ -1& 3\end{array}\right)$$

積は行と列の内積で決まる。4 つの成分をそれぞれ計算する。

$$AB=\left(\begin{array}{cc}3\times 2+5\times (-1)& 3\times (-5)+5\times 3\\ 1\times 2+2\times (-1)& 1\times (-5)+2\times 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$

単位行列になった。したがって $B$ は $A$ の逆行列であり、$A^{-1}=B$ と書ける。

左からかけても右からかけても単位行列

実数のかけ算と違い、行列の積では順序を入れ替えると結果が変わる。$AB$ と $BA$ は普通は別物である。

ところが逆行列だけは例外で、どちらの順序でも単位行列になる。

$$A{A}^{-1}=A^{-1}A=I$$

だから「$B$ が $A$ の逆行列」と「$A$ が $B$ の逆行列」は同じことを指す。定義でどちらの言い方もできるのは、この対称性による。

計算例: 順序を入れ替えて確かめる

さきほどの $A$ と $B$ で、今度は $BA$ を計算する。

$$BA=\left(\begin{array}{cc}2\times 3+(-5)\times 1& 2\times 5+(-5)\times 2\\ (-1)\times 3+3\times 1& (-1)\times 5+3\times 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$

$AB$ のときと同じ単位行列が出た。順序を変えても結果が変わらない、めずらしい組み合わせである。

逆行列は 1 つしかない

$A$ の逆行列が 2 つあったとしよう。$B$ と $C$ がどちらも逆行列なら、次のように変形できる。

$$B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C$$

$B$ と $C$ は一致する。つまり逆行列は、存在するならただ 1 つに定まる。

だから $A^{-1}$ という書き方が許される。「$A$ の逆行列」と言えば行列が 1 つに決まる。

行列式 $ad-bc$

公式に入る前に、行列式という値を用意する。

$$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right),|A|=ad-bc$$

たすきがけの引き算である。左上と右下をかけたものから、右上と左下をかけたものを引く。

記号は実数の絶対値と同じ縦棒を使う。$\det A$ と書く教科書もある。詳しくは行列式の定義と意味を参照してほしい。

逆行列の公式

$|A|\ne 0$ のとき、$A$ の逆行列は次の式で与えられる。

$$A^{-1}=\frac{1}{|A|}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$$

手順は 3 つである。対角成分 $a$ と $d$ の位置を入れ替え、残る $b$ と $c$ の符号を変え、行列式で割る。

割る操作があるので、$|A|=0$ では使えない。その場合は後の節で扱う。

公式が正しいことを確かめる

本当に逆行列になっているか、$A$ にかけて確かめる。

$$A{A}^{-1}=\frac{1}{|A|}\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)=\frac{1}{|A|}\left(\begin{array}{cc}ad-bc& -ab+ba\\ cd-dc& -cb+da\end{array}\right)$$

右上と左下は打ち消し合って $0$ になる。対角成分はどちらも $ad-bc$、すなわち $|A|$ である。

$$A{A}^{-1}=\frac{1}{|A|}\left(\begin{array}{cc}|A|& 0\\ 0& |A|\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$

$|A|$ で割ったのは、この対角成分を $1$ にそろえるためだった。

直観: なぜ対角を入れ替えて符号を変えるのか

$A^{-1}A=I$ を行ごとに読むと、公式の形が見えてくる。$A^{-1}$ の 1 行目は $(d,-b)$ を $|A|$ で割ったものである。

この $(d,-b)$ と、$A$ の 2 列目 $(b,d)$ の内積を取ると $db-bd=0$ になる。つまり $(d,-b)$ は 2 列目と直交する向きに選ばれている。

一方で $A$ の 1 列目 $(a,c)$ との内積は $da-bc$、すなわち $|A|$ である。

符号を変えるのは直交させるため、行列式で割るのは大きさを $1$ に合わせるためである。2 行目も同じ理屈で $(-c,a)$ になる。

計算例: 行列式が 1 の場合

$$A=\left(\begin{array}{cc}7& 3\\ 2& 1\end{array}\right)$$

行列式は $|A|=7\times 1-3\times 2=1$ である。割り算が要らないので、入れ替えと符号だけで済む。

$$A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& -3\\ -2& 7\end{array}\right)$$

検算する。

$$A{A}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}7-6& -21+21\\ 2-2& -6+7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$

計算例: 行列式が 2 の場合

$$A=\left(\begin{array}{cc}9& 4\\ 4& 2\end{array}\right)$$

$|A|=9\times 2-4\times 4=2$ である。入れ替えと符号のあとに $2$ で割る。

$$A^{-1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}2& -4\\ -4& 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ -2& \frac{9}{2}\end{array}\right)$$

検算すると $9-8=1$、$-18+18=0$、$4-4=0$、$-8+9=1$ となり、単位行列になる。

計算例: 行列式が負の場合

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 5\end{array}\right)$$

$|A|=1\times 5-2\times 3=-1$ である。負の数で割るので、全成分の符号がひっくり返る。

$$A^{-1}=\frac{1}{-1}\left(\begin{array}{cc}5& -2\\ -3& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-5& 2\\ 3& -1\end{array}\right)$$

検算は $-5+6=1$、$2-2=0$、$-15+15=0$、$6-5=1$ である。行列式が負でも手順は変わらない。

計算例: 負の成分を含む場合

$$A=\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ -1& 4\end{array}\right)$$

$|A|=2\times 4-(-3)\times (-1)=8-3=5$ である。引く側もかけ算なので、符号を 2 つとも拾う。

公式では $b=-3$ と $c=-1$ の符号を変えるので、どちらも正になる。

$$A^{-1}=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{cc}4& 3\\ 1& 2\end{array}\right)$$

検算すると $\frac{8-3}{5}=1$、$\frac{6-6}{5}=0$、$\frac{-4+4}{5}=0$、$\frac{-3+8}{5}=1$ になる。

計算例: 分数が出る場合

$$A=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 3& 5\end{array}\right)$$

$|A|=4\times 5-2\times 3=14$ である。約分しきれないので、成分に分数が残る。

$$A^{-1}=\frac{1}{14}\left(\begin{array}{cc}5& -2\\ -3& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{5}{14}& -\frac{1}{7}\\ -\frac{3}{14}& \frac{2}{7}\end{array}\right)$$

計算の途中では $\frac{1}{14}$ を外に出したままにしておくとよい。検算も $\frac{20-6}{14}=1$ のように、分子だけ見れば済む。

計算例: 単位行列の逆行列

$$I=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$

$|I|=1\times 1-0\times 0=1$ である。公式にあてはめると、入れ替えても符号を変えても形が変わらない。

$$I^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=I$$

$II=I$ なので当然である。実数で $1$ の逆数が $1$ であることに対応する。

計算例: 対角行列の逆行列

$$A=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 5\end{array}\right)$$

$|A|=15$ である。公式にあてはめる。

$$A^{-1}=\frac{1}{15}\left(\begin{array}{cc}5& 0\\ 0& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{3}& 0\\ 0& \frac{1}{5}\end{array}\right)$$

対角成分がそれぞれ逆数になった。$x$ 方向を $3$ 倍したなら $\frac{1}{3}$ 倍して戻す、という素直な形である。

計算例: 拡大行列の逆行列

平面全体を $2$ 倍に広げる行列を考える。

$$A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$$

$|A|=4$ なので、逆行列は次のようになる。

$$A^{-1}=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& 0\\ 0& \frac{1}{2}\end{array}\right)$$

$2$ 倍に広げたものを $\frac{1}{2}$ 倍で縮めて戻す。逆行列が「もとに戻す変換」だという見方が、そのまま数に出ている。

計算例: 回転行列の逆行列

原点まわりに $\theta$ だけ回す行列は次の形をしている。

$$R=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$$

行列式は ${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$ である。公式にあてはめると、$\sin \theta$ の符号だけが変わる。

$$R^{-1}=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$$

これは $-\theta$ の回転である。$\theta =90^{\circ }$ なら $R$ は $(0,-1;1,0)$ の並びになり、逆行列は $(0,1;-1,0)$ の並びになる。

回したものを逆向きに回して戻す。ここでも逆行列は取り消しの操作になっている。

求めたら必ず検算する

逆行列は検算がやさしい。求めた $A^{-1}$ をもとの $A$ にかけて、単位行列になるかを見ればよい。

符号を落とす、行列式で割り忘れる、対角成分を入れ替え忘れる。よくある間違いはこの 1 手間でほぼ見つかる。

上の計算例でも毎回確かめている。手順が短いぶん、省くと間違いに気づく機会がなくなる。

行列式が 0 だと逆行列がない

公式は $|A|$ で割る形なので、$|A|=0$ では使えない。使えないだけでなく、逆行列そのものが存在しない。

理由は積の形からわかる。$AB=I$ となる $B$ があったとすると、行列式には $|AB|=|A||B|$ という性質がある。

$$|A||B|=|I|=1$$

左辺は $|A|=0$ なら $0$ である。$0=1$ となって矛盾するので、そのような $B$ は存在しない。

計算例: 逆行列を持たない行列

$$A=\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ 1& 2\end{array}\right)$$

$|A|=2\times 2-4\times 1=0$ である。この行列に逆行列はない。

公式にあてはめようとすると $\frac{1}{0}$ が現れる。計算が止まるのではなく、そもそも答えが存在しない。

$|A|$ を先に計算する習慣をつけておくと、無駄な手を動かさずに済む。

直観: 面積がつぶれるから戻せない

行列式には、単位正方形が移った先の面積という意味がある。$|A|=0$ とは、その面積が $0$ になることである。

面積が $0$ ということは、正方形が線分につぶれたということだ。平面全体が 1 本の直線に押し込められている。

<svg viewBox="0 0 700 306" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:100%;height:auto;display:block;margin:0 auto"><line x1="105" y1="230" x2="285" y2="230" stroke="#8a8a8a" stroke-width="1"/><line x1="140" y1="262" x2="140" y2="130" stroke="#8a8a8a" stroke-width="1"/><polygon points="140,230 196,202 224,146 168,174" fill="#ebf5ff" stroke="#1b81e0" stroke-width="2"/><text x="192" y="34" font-size="13" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">行列式が 3 — 面積が残る</text><text x="192" y="56" font-size="12" fill="#8a8a8a" text-anchor="middle">単位正方形が平行四辺形になる</text><text x="192" y="288" font-size="12" fill="#8a8a8a" text-anchor="middle">もとに戻せる</text><line x1="415" y1="230" x2="645" y2="230" stroke="#8a8a8a" stroke-width="1"/><line x1="450" y1="262" x2="450" y2="130" stroke="#8a8a8a" stroke-width="1"/><line x1="450" y1="230" x2="618" y2="146" stroke="#a8d2f5" stroke-width="8"/><line x1="450" y1="230" x2="618" y2="146" stroke="#1b81e0" stroke-width="2"/><text x="527" y="34" font-size="13" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">行列式が 0 — 線につぶれる</text><text x="527" y="56" font-size="12" fill="#8a8a8a" text-anchor="middle">単位正方形が線分になる</text><text x="527" y="288" font-size="12" fill="#8a8a8a" text-anchor="middle">戻す先がわからない</text></svg>

つぶれると情報が失われる。直線上の 1 点を見せられても、もとの平面のどこから来たのかを決められない。行きは計算できても、帰り道が 1 本に定まらない。

直観: 列が平行になっている

$|A|=0$ の行列を列で読むと、事情がはっきりする。さきほどの例の列は $(2,1)$ と $(4,2)$ であった。

後者は前者のちょうど $2$ 倍で、2 本は平行である。一次独立と一次従属の言葉でいえば、この 2 本は一次従属である。

平行な 2 本をどう組み合わせても、原点を通る 1 本の直線しか作れない。届く範囲が平面全体にならないので、$I$ の 2 本の列を作ることもできない。

行列式が $0$、面積がつぶれる、列が平行、逆行列がない。どれも同じことを別の角度から述べている。

正則行列という呼び方

逆行列を持つ行列を正則行列という。可逆行列ということもある。英語では invertible matrix である。

2 次正方行列では、正則であることと $|A|\ne 0$ であることが同じ条件になる。判定は行列式を 1 回計算するだけで済む。

逆に $|A|=0$ の行列は特異行列という。逆行列を持たない行列のことである。

逆行列の逆行列はもとの行列

$A^{-1}$ にも逆行列がある。定義に戻ると、$A^{-1}$ にかけて $I$ になる行列を探せばよい。

$A{A}^{-1}=A^{-1}A=I$ なので、その相手は $A$ 自身である。

$$(A^{-1}{)}^{-1}=A$$

実数で $\frac{1}{1/3}=3$ となるのと同じである。取り消しをもう一度取り消せば、もとに戻る。

計算例: 逆行列の逆行列

最初の例で確かめる。$A$ と $A^{-1}$ は次のとおりだった。

$$A=\left(\begin{array}{cc}3& 5\\ 1& 2\end{array}\right),A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& -5\\ -1& 3\end{array}\right)$$

$A^{-1}$ の行列式は $2\times 3-(-5)\times (-1)=6-5=1$ である。これに公式をあてはめる。

$$(A^{-1}{)}^{-1}=\frac{1}{1}\left(\begin{array}{cc}3& 5\\ 1& 2\end{array}\right)=A$$

もとの $A$ が戻ってきた。

積の逆行列は順序が入れ替わる

2 つの行列の積にも逆行列がある。ただし順序が入れ替わる。

$$(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$$

確かめるには $AB$ にかけてみればよい。$(AB)(B^{-1}{A}^{-1})=A(B{B}^{-1})A^{-1}=AI{A}^{-1}=A{A}^{-1}=I$ となる。

順序が変わる理由は操作の順番にある。$A$ をしてから $B$ をしたなら、戻すときは $B$ を取り消してから $A$ を取り消す。靴下をはいて靴をはいたら、脱ぐのは靴が先である。

計算例: 積の逆行列

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 3& 1\end{array}\right)$$

どちらも行列式が $1$ なので、逆行列は $A^{-1}=(1,-2;0,1)$ と $B^{-1}=(1,0;-3,1)$ の並びになる。

積 $AB$ とその逆行列を求める。

$$AB=\left(\begin{array}{cc}7& 2\\ 3& 1\end{array}\right),(AB{)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ -3& 7\end{array}\right)$$

順序を入れ替えた積と比べる。

$$B^{-1}{A}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -3& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ -3& 7\end{array}\right)$$

一致した。順序をそろえた $A^{-1}{B}^{-1}$ を計算すると $(7,-2;-3,1)$ の並びになり、これは違う行列である。

逆行列の行列式

行列式には $|AB|=|A||B|$ という性質がある。ここに $B=A^{-1}$ を入れる。

$$|A||A^{-1}|=|I|=1$$

両辺を $|A|$ で割ると、逆行列の行列式が求まる。

$$|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}$$

面積の言葉でいえば、$A$ が面積を $|A|$ 倍にするなら、$A^{-1}$ は $\frac{1}{|A|}$ 倍にして戻すということである。

計算例: 逆行列の行列式

行列式が $2$ だった例で確かめる。

$$A=\left(\begin{array}{cc}9& 4\\ 4& 2\end{array}\right),A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ -2& \frac{9}{2}\end{array}\right)$$

$A^{-1}$ の行列式を計算する。

$$|A^{-1}|=1\times \frac{9}{2}-(-2)\times (-2)=\frac{9}{2}-4=\frac{1}{2}$$

$|A|=2$ の逆数になっている。

連立方程式を解く

逆行列のいちばんの使い道は連立方程式である。係数を並べた行列を $A$、未知数を $v$、右辺を $u$ とおくと、連立方程式は $Av=u$ と書ける。

両辺に左から $A^{-1}$ をかけると、$v$ だけが残る。

$$v=A^{-1}u$$

くわしくは行列とベクトルの積と連立方程式を参照してほしい。$|A|=0$ のときに解が一意でなくなることも、逆行列がないことと対応している。

計算例: 逆行列で連立方程式を解く

$$\{\begin{array}{l}5x+3y=11\\ 3x+2y=7\end{array}$$

係数と右辺を並べる。

$$A=\left(\begin{array}{cc}5& 3\\ 3& 2\end{array}\right),u=\left(\begin{array}{c}11\\ 7\end{array}\right)$$

$|A|=5\times 2-3\times 3=1$ なので、逆行列は割り算なしで求まる。

$$A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ -3& 5\end{array}\right),v=A^{-1}u=\left(\begin{array}{c}22-21\\ -33+35\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$$

$x=1$, $y=2$ である。もとの式に戻すと $5+6=11$、$3+4=7$ となり、どちらも合っている。

3 次以上の逆行列

2 次の公式が書き下せるのは、成分が 4 つしかないからである。3 次になると成分が 9 つになり、同じ形の式は急に長くなる。

実際には余因子行列を使うか、掃き出し法で単位行列へ変形しながら求める。次数が上がるほど後者が現実的である。

2 次の公式は覚えてよい。ただし、暗記が効くのは 2 次までだと知っておくと、あとで困らない。

よくある誤り

最後に、間違えやすい点を並べておく。

どれも定義に戻れば防げる。求めた行列をもとの行列にかけて、単位行列になるかを見ればよい。

参考文献