三次元ベクトルの外積の成分表示

ベクトル $a = (a_{1}, a_{2}, a_{3}), b = (b_{1}, b_{2}, b_{3})$ の外積 $a \times b$ を成分で表すと

$a \times b = (a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2}, a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3}, a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1})$

となる。

正規直交系の基底ベクトルの外積

正規直交系の基底ベクトルとは前回説明した右手系三次元座標の $x, y, z$ 軸上の単位ベクトルで $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ で表す。

参照：右手系3次元座標とベクトルの外積の定義と公式

三次元正規直交系の基底ベクトル

$e_{1} = (1, 0, 0) e_{2} = (0, 1, 0) e_{3} = (0, 0, 1)$

基底ベクトルの外積について次の公式が成り立つ。

$e_{1} \times e_{2} = e_{3} e_{2} \times e_{3} = e_{1} e_{3} \times e_{1} = e_{2}$

順番に気をつける。外積は交換法則が成り立たず、交換するとマイナスがつく。

成分表示の証明

同じベクトルの外積がゼロ、外積の交換はマイナスがつくこと、そして上の正規直交系の基底ベクトルの外積公式から

$a \times b$

$= (a_{1} e_{1} + a_{2} e_{2} + a_{3} e_{3}) \times (b_{1} e_{1} + b_{2} e_{2} + b_{3} e_{3})$

$= a_{1} b_{1} e_{1} \times e_{1} + a_{1} b_{2} e_{1} \times e_{2} + a_{1} b_{3} e_{1} \times e_{3} + a_{2} b_{1} e_{2} \times e_{1} + a_{1} b_{2} e_{2} \times e_{2} + a_{2} b_{3} e_{2} \times e_{3} + a_{3} b_{1} e_{3} \times e_{1} + a_{1} b_{2} e_{3} \times e_{2} + a_{3} b_{3} e_{3} \times e_{3}$

$= 0 + a_{1} b_{2} e_{1} \times e_{2} + a_{1} b_{3} e_{1} \times e_{3} + a_{2} b_{1} e_{2} \times e_{1} + 0 + a_{2} b_{3} e_{2} \times e_{3} + a_{3} b_{1} e_{3} \times e_{1} + a_{1} b_{2} e_{3} \times e_{2} + 0$

$= 0 + a_{1} b_{2} e_{3} - a_{1} b_{3} e_{2} - a_{2} b_{1} e_{3} + 0 + a_{2} b_{3} e_{1} + a_{3} b_{1} e_{2} - a_{1} b_{2} e_{1} + 0$

$= (a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2}) e_{1} + (a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3}) e_{2} + (a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}) e_{3}$

となる。