外積の成分表示（基底ベクトルの外積から組み立てる）

$a = (a_{1}, a_{2}, a_{3})$ 、 $b = (b_{1}, b_{2}, b_{3})$ の外積は、成分で次のように書ける^[1]。

$a \times b = (a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2}, a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3}, a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1})$

添字が $1 \to 2 \to 3 \to 1$ と巡回している。この形は覚えるものではなく、基底ベクトルの外積から出てくるものである。

9 項に開いて 3 項が消え、残った 6 項が 3 つの組にまとまる。それだけの計算で導ける。

基底ベクトルどうしの外積

外積は幾何で定義される。大きさが $∥ a ∥∥ b ∥ sin θ$ 、向きは両方に直交し、右手系になる向きである^[2]。

右手系の座標では $e_{1} = (1, 0, 0)$ 、 $e_{2} = (0, 1, 0)$ 、 $e_{3} = (0, 0, 1)$ が互いに直交し、長さが $1$ 。この定義から次が出る。

$e_{1} \times e_{2} = e_{3}, e_{2} \times e_{3} = e_{1}, e_{3} \times e_{1} = e_{2}$

添字が巡回している。 $1 \to 2 \to 3 \to 1$ の順に並べれば、どこから始めても同じ形になる。

順番を入れ替えると符号が変わる。 $e_{2} \times e_{1} = - e_{3}$ である^[1]。

同じもの同士は $0$ になる。 $θ = 0$ で $sin θ = 0$ だからで、 $e_{1} \times e_{1} = 0$ 。

9 項に開く

外積は 2 つの変数のどちらについても線形である。だから括弧を普通に展開できる^[1]。

$a \times b = (a_{1} e_{1} + a_{2} e_{2} + a_{3} e_{3}) \times (b_{1} e_{1} + b_{2} e_{2} + b_{3} e_{3})$

$3 \times 3 = 9$ 個の項が出る。係数はスカラーなので外へ出し、基底ベクトルどうしの外積だけを残す。

$= a_{1} b_{1} (e_{1} \times e_{1}) + a_{1} b_{2} (e_{1} \times e_{2}) + a_{1} b_{3} (e_{1} \times e_{3}) + a_{2} b_{1} (e_{2} \times e_{1}) + a_{2} b_{2} (e_{2} \times e_{2}) + a_{2} b_{3} (e_{2} \times e_{3}) + a_{3} b_{1} (e_{3} \times e_{1}) + a_{3} b_{2} (e_{3} \times e_{2}) + a_{3} b_{3} (e_{3} \times e_{3})$

対角にあたる 3 項は、同じ基底ベクトルどうしなので $0$ 。9 項のうち 3 項が消える。

6 項をまとめる

残った 6 項に、巡回の公式と符号の規則を当てる。

$= a_{1} b_{2} e_{3} - a_{1} b_{3} e_{2} - a_{2} b_{1} e_{3} + a_{2} b_{3} e_{1} + a_{3} b_{1} e_{2} - a_{3} b_{2} e_{1} = (a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2}) e_{1} + (a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3}) e_{2} + (a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}) e_{3}$

$e_{1}$ の係数には添字 $2$ と $3$ が、 $e_{2}$ には $3$ と $1$ が、 $e_{3}$ には $1$ と $2$ が現れる。

各成分で「自分以外の 2 つが巡回の順に並ぶ」という形になった。基底の外積が巡回していたことが、そのまま成分に写っている。

行列式の形で書く

同じ式を、第 1 行に基底ベクトルを置いた $3$ 次の行列式として書ける^[1]。

$a \times b = e_{1} a_{1} b_{1} e_{2} a_{2} b_{2} e_{3} a_{3} b_{3}$

第 1 行で余因子展開すると、上の 3 つの成分がそのまま出る。ベクトルを成分に混ぜた形なので、厳密には行列式ではない。覚えるための書き方である。

この形にすると、性質がすぐ読める。 $a$ と $b$ を入れ替えるのは 2 行の入れ替えなので符号が反転する。同じベクトルなら 2 行が等しく、値は $0$ 。

例：成分で計算する

$a = (1, 2, 3)$ 、 $b = (4, 5, 6)$ とする。式に入れるだけである。

$a \times b = (2 \cdot 6 - 3 \cdot 5, 3 \cdot 4 - 1 \cdot 6, 1 \cdot 5 - 2 \cdot 4) = (- 3, 6, - 3)$

直交を確かめる。 $a \cdot (a \times b) = - 3 + 12 - 9 = 0$ 、 $b \cdot (a \times b) = - 12 + 30 - 18 = 0$ 。

どちらも $0$ になった。定義の「両方に直交」が、成分の式でも成り立っている。

直交することの証明

一般に成り立つことも式で言える。 $a \cdot (a \times b)$ を書き下す。

$a_{1} (a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2}) + a_{2} (a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3}) + a_{3} (a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1})$

$a_{1} a_{2} b_{3}$ と $- a_{1} a_{2} b_{3}$ 、 $a_{1} a_{3} b_{2}$ と $- a_{1} a_{3} b_{2}$ 、 $a_{2} a_{3} b_{1}$ と $- a_{2} a_{3} b_{1}$ が対で現れる。全部で $0$ 。

行列式の形で見れば一瞬である。 $a \cdot (a \times b)$ は、第 1 行を $a$ に置き換えた行列式にあたる^[1]。第 1 行と第 2 行が等しいので $0$ になる。

2 行が等しい行列式は 0

だから a と外積の内積は 0

外積は両方に直交する

大きさは平行四辺形の面積

外積の長さは、2 本が張る平行四辺形の面積に等しい^[1,2]。成分から確かめられる。

$∥ a \times b ∥^{2} + (a \cdot b)^{2} = ∥ a ∥^{2} ∥ b ∥^{2}$

ラグランジュの恒等式と呼ぶ。両辺を展開すると、同じ 9 項が並ぶ。

$a \cdot b = ∥ a ∥∥ b ∥ cos θ$ を代入して整理すると、次の形になる。

$∥ a \times b ∥^{2} = ∥ a ∥^{2} ∥ b ∥^{2} (1 - cos^{2} θ) = (∥ a ∥∥ b ∥ sin θ)^{2}$

$∥ a ∥∥ b ∥ sin θ$ は、底辺 $∥ a ∥$ 、高さ $∥ b ∥ sin θ$ の平行四辺形の面積そのもの。

上の例で確かめる。 $∥ a \times b ∥^{2} = 9 + 36 + 9 = 54$ である。

右辺は $∥ a ∥^{2} ∥ b ∥^{2} = 14 \cdot 77 = 1078$ で、 $a \cdot b = 32$ 。引くと $1078 - 1024 = 54$ で一致する。

例：面積と体積を出す

$a = (1, 0, 0)$ 、 $b = (1, 1, 0)$ が張る平行四辺形の面積を求める。

外積は $(0 \cdot 0 - 0 \cdot 1, 0 \cdot 1 - 1 \cdot 0, 1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) = (0, 0, 1)$ で、長さは $1$ 。底辺 $1$ 、高さ $1$ の平行四辺形にあたる。

3 本なら体積が出る。 $u \cdot (v \times w)$ の絶対値が、平行六面体の体積になる^[1]。

$u = (1, 2, 3)$ 、 $v = (4, 5, 6)$ 、 $w = (7, 8, 10)$ をとる。

$v \times w = (2, 2, - 3)$ なので、内積は $2 + 4 - 9 = - 3$ 。体積は絶対値をとって $3$ である。

記号でまとめる

3 つの添字を持つ記号を用意すると、成分の式が 1 行になる^[3]。

$ε_{ij k} = ⎩ ⎨ ⎧ 1 - 1 0 (ij k) が (123) の偶置換奇置換それ以外$

レヴィ・チヴィタ記号と呼ぶ。 $27$ 個の成分のうち、 $0$ でないのは $6$ 個だけである^[3]。

$(a \times b)_{i} = j, k \sum ε_{ij k} a_{j} b_{k}$

2 つの添字を入れ替えると符号が変わる、という性質がそのまま外積の反対称性になる。巡回で不変なことが、基底の外積の巡回に対応する。

成分の式に現れる符号は、すべて置換の偶奇から来ている。

行列式の定義に出てくる符号と同じもの。外積と行列式が似た形をしているのは偶然ではない。

3 次元でしか作れない

2 本のベクトルに直交する方向を 1 つに決める、という操作は $3$ 次元に特有である。

$n$ 次元で一次独立な 2 本をとると、両方に直交するベクトル全体は $n - 2$ 次元の空間になる。この次元が $1$ になるのは $n = 3$ のときだけ。

$2$ 次元では $0$ 次元、つまり零ベクトルしかない。 $4$ 次元では $2$ 次元ぶんの自由度が残り、向きが 1 つに決まらない。

だから外積は $3$ 次元の話として語られる。他の次元へ持っていくなら、別の道具に置き換えることになる。

$e_{3} \times e_{2}$ はどれですか。

$e_{1}$
$- e_{1}$
$0$

__RESULT__

巡回の順は $1 \to 2 \to 3 \to 1$ なので、正の形は $e_{2} \times e_{3} = e_{1}$ です。順番が逆なので符号が反転して $- e_{1}$ になります。同じ基底どうしでないので $0$ にはなりません。

面積との関係も確かめる。

$∥ a ∥ = 3$ 、 $∥ b ∥ = 4$ 、 $a \cdot b = 6$ のとき、 $∥ a \times b ∥$ はいくらですか。

$108$
$12$
$6$

__RESULT__

ラグランジュの恒等式から $∥ a \times b ∥^{2} = 9 \cdot 16 - 36 = 108$ です。 $12$ は $sin θ = 1$ 、つまり直交する場合の値で、内積が $0$ でないぶん小さくなります。

検算のしかた

出した外積と、もとの 2 本それぞれとの内積をとる。どちらも $0$ にならなければ、符号か添字を間違えている。

$(1, 2, 3) \times (4, 5, 6) = (- 3, 6, - 3)$ なら、 $1 \cdot (- 3) + 2 \cdot 6 + 3 \cdot (- 3) = 0$ で通る。

順番を入れ替えて計算し、符号だけが反転するかを見る方法もある。 $b \times a = (3, - 6, 3)$ になれば、反対称性が保たれている。

大きさをラグランジュの恒等式で確かめるのが 3 つ目。 $∥ a ∥^{2} ∥ b ∥^{2} - (a \cdot b)^{2}$ と一致すれば、成分の符号が正しい。

基底の外積が巡回すること。両方の変数について線形なこと。この 2 つだけで、成分表示は導ける。

参考

Michael Corral. *Cross Product*/01%3A_Vectors_in_Euclidean_Space/1.04%3A_Cross_Product). Vector Calculus.

Vector product. Encyclopedia of Mathematics.

Robert Littlejohn. *The Levi-Civita Symbol*. Physics 209 Notes 3, University of California, Berkeley.

$(a_2b_3 - a_3b_2,\ a_3b_1 - a_1b_3,\ a_1b_2 - a_2b_1)$ は覚える式ではありません。$\mathbf{e}_1 \times \mathbf{e}_2 = \mathbf{e}_3$ の巡回と、両方の変数についての線形性。この 2 つから括弧を開けば出てきます。$9$ 項に開いて対角の $3$ 項が消え、残る $6$ 項が $3$ 組にまとまる。第 1 行に基底ベクトルを置いた行列式の形にすると、入れ替えで符号が反転することも、同じベクトルなら $\mathbf{0}$ になることも一目で読めます。両方に直交する証明、長さが平行四辺形の面積になるラグランジュの恒等式、$3$ 次元でしか作れない理由まで。