コンデンサーの極板間引力と静電圧力（高校物理）

充電したコンデンサーの 2 枚の極板は、たがいに引き合います。片方が正、もう片方が負だから当然に見えますが、力の大きさを $QE$ と書くと答えが 2 倍になる。

正しくは半分です。

$$F=\frac{1}{2}QE=\frac{Q^2}{2{\epsilon }_{0}S}$$

$S$ は極板の面積、${\epsilon }_0$ は真空の誘電率で $8.85\times 10^{-12}F/m$。この $\frac{1}{2}$ は計算の途中でうっかり生まれる係数ではなく、力を受ける側が自分のつくった電場からは力を受けない、という事情から来ています。

1 枚の極板がつくる電場

まず極板を 1 枚だけ置きます。面電荷密度を $\sigma =Q/S$ とすると、この板がつくる電場は表と裏へ半分ずつ出ていく。

板をはさむ円筒にガウスの法則をあてます。電気力線が抜けるのは円筒の底面 2 枚ぶん、つまり面積 $2S$。

$$E_1\times 2S=\frac{Q}{{\epsilon }_0}$$

したがって次の形になります。

$$E_1=\frac{Q}{2{\epsilon }_{0}S}=\frac{\sigma }{2{\epsilon }_0}$$

距離が式に入っていません。無限に広い板からの電場は、離れても弱くならない。近づけば 1 個ずつの電荷からの力は強くなりますが、そのぶん視野に入る電荷が減るため、差し引きでつり合います。

2 枚を向かい合わせる

正の板と負の板を並べると、内側では 2 枚の電場が同じ向きにそろいます。外側では逆を向いて打ち消し合う。

内側の電場は $\sigma /{\epsilon }_0$ で、1 枚ぶんのちょうど 2 倍。これが極板間の電場 $E$ です。

自分の電場では自分を押せない

ここが $\frac{1}{2}$ の出どころです。正の板にはたらく力を考えるとき、かけるべき電場は負の板だけがつくる $\sigma /(2{\epsilon }_0)$ になります。

自分がつくった電場から自分が力を受けることはありません。自分の手で自分の背中を押しても、全体としては動かないのと同じです。

図の 1 段目が正の板自身のつくる電場で、2 段目が相手のつくる電場です。正の板が受けとるのは 2 段目だけになる。

$$F=Q\times \frac{Q}{2{\epsilon }_{0}S}=\frac{Q^2}{2{\epsilon }_{0}S}$$

極板間の電場 $E=Q/({\epsilon }_{0}S)$ で書き直すと $F=\frac{1}{2}QE$ です。$QE$ としてしまうと、自分の電場からも力を受けたことになる。

エネルギーの増え方から求める

電場を使わずに、エネルギーの変化からも同じ答えが求められます。電池を外して電気量 $Q$ を固定し、間隔を $d$ から少しずつ広げる。

たくわえたエネルギーは $U=Q^2/(2C)$ で、$C={\epsilon }_{0}S/d$ を入れると $d$ の 1 次式になります。

$$U=\frac{Q^{2}d}{2{\epsilon }_{0}S}$$

外から加えた仕事がそのままエネルギーの増加になるため、$W=F\Delta d=\Delta U$ から力が求められます。

$$F=\frac{\Delta U}{\Delta d}=\frac{Q^2}{2{\epsilon }_{0}S}$$

電場から求めた答えと一致しました。

グラフが直線だから、傾きは $d$ によりません。極板を離しても引力は弱くならない。クーロン力や万有引力が $1/r^2$ で落ちるのとは、この点が違います。

理由は電場のほうにあります。極板間の電場は距離によらず一定だから、離しても電荷が感じる電場が変わらない。

電池をつないだままだと

電池をつないだまま広げると、見え方が変わります。電圧 $V$ が固定され、電気量のほうが減っていく。

$U=\frac{1}{2}C{V}^2$ で $C$ が小さくなるため、コンデンサーのエネルギーは減ります。それでも引力の向きは変わらない。減ったぶんは電池へ戻っており、コンデンサーのエネルギーだけを見て力の向きを決めると答えを誤ります。

力の大きさは $Q=CV$ を入れれば同じ式から求められます。

$$F=\frac{Q^2}{2{\epsilon }_{0}S}=\frac{{\epsilon }_{0}S{V}^2}{2d^2}$$

電圧で書いた形には $d^2$ が分母にあります。同じ力を別の変数で書いただけです。$d$ を変えると $Q$ も変わるという事情が、式の形に表れています。

単位面積あたりで見る

力を面積で割ると、圧力の形になります。

$$\frac{F}{S}=\frac{{\sigma }^2}{2{\epsilon }_0}=\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2$$

静電圧力と呼ばれる量です。右辺は電場のエネルギー密度と同じ形をしており、どちらにも $\frac{1}{2}$ がつく。電場を張るのにいるエネルギーと、電場が引く力が、同じ係数でつながっています。

例：ひとつの設定を 3 通りで解く

面積 $200\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$、間隔 $1.0\mathrm{mm}$ の極板に $500\mathrm{V}$ をかけます。まず容量と電気量。

$$\begin{array}{rl}C& =\frac{8.85\times 10^{-12}\times 2.0\times 10^{-2}}{1.0\times 10^{-3}}=1.77\times 10^{-10}\mathrm{F}\\ Q& =CV=8.85\times 10^{-8}\mathrm{C}\end{array}$$

極板間の電場は $E=V/d=5.0\times 10^{5}V/m$ です。

例：電場から求める

$F=\frac{1}{2}QE$ にそのまま入れます。

$$F=\frac{1}{2}\times 8.85\times 10^{-8}\times 5.0\times 10^5=2.2\times 10^{-2}\mathrm{N}$$

$0.022\mathrm{N}$。$1$ 円玉は $1\mathrm{g}$ ちょうどで、$1$ 円玉 2 枚あまりを持ち上げるくらいの力になります。

例：電圧の式から求める

$F={\epsilon }_{0}S{V}^2/(2d^2)$ を使います。

$$\begin{array}{rl}F& =\frac{8.85\times 10^{-12}\times 2.0\times 10^{-2}\times (5.0\times 10^2{)}^2}{2\times (1.0\times 10^{-3}{)}^2}\\ & =2.2\times 10^{-2}\mathrm{N}\end{array}$$

同じ値になりました。

例：静電圧力から求める

$\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2$ を計算してから面積をかけます。

$$\frac{1}{2}\times 8.85\times 10^{-12}\times (5.0\times 10^5{)}^2=1.1\mathrm{Pa}$$

$1.1\times 2.0\times 10^{-2}=2.2\times 10^{-2}\mathrm{N}$。3 通りとも一致します。値がそろわなければ、どこかで $E$ と $E/2$ をとり違えている。

例：電池を外して間隔を 2 倍にする

$Q=8.85\times 10^{-8}\mathrm{C}$ のまま $1.0\mathrm{mm}$ から $2.0\mathrm{mm}$ へ広げます。$F=Q^2/(2{\epsilon }_{0}S)$ に $d$ が入っていないため、力は $2.2\times 10^{-2}\mathrm{N}$ のまま動きません。

力が一定だから、仕事はかけ算で求められる。

$$W=F\Delta d=2.2\times 10^{-2}\times 1.0\times 10^{-3}=2.2\times 10^{-5}\mathrm{J}$$

エネルギーのほうも確かめます。$U=Q^{2}d/(2{\epsilon }_{0}S)$ は $d$ に比例するため、$d$ が 2 倍になれば $U$ も 2 倍。もとの $U$ が $2.2\times 10^{-5}\mathrm{J}$ だから、増えぶんは $2.2\times 10^{-5}\mathrm{J}$ で、加えた仕事と一致します。

例：電池をつないだまま間隔を半分にする

$V$ が固定されます。$F={\epsilon }_{0}S{V}^2/(2d^2)$ の $d$ が半分になるため、$d^2$ は 4 分の 1 で力は 4 倍。$8.8\times 10^{-2}\mathrm{N}$ になります。

容量が 2 倍に増え、電気量も 2 倍になったぶんが効いている。

$\frac{1}{2}$ がつくかどうかは、電場を全部かけるのか、相手のぶんだけかけるのかの違いです。板を 1 枚だけ描いてみると、そのとき効いている電場がどちらのものかを目で確かめられます。