コンデンサーの公式と電気容量｜蓄えるエネルギーの求め方

電池につないだコンデンサーには、電圧に比例した電気量がたまります。$3\mathrm{V}$ の電池でためたあと $6\mathrm{V}$ につなぎ替えると、たまる電気量はちょうど 2 倍。

比が変わらないため、その比をコンデンサーごとの値として書けます。

$$C=\frac{Q}{V}$$

これが電気容量です。単位はファラド（F）で、$1\mathrm{V}$ をかけて $1\mathrm{C}$ たまるときが $1\mathrm{F}$ にあたります。

容量は電圧を上げても動かない

$C=Q/V$ という分数だけを見ると、$V$ を大きくすれば $C$ が小さくなりそうに見えます。実際には動きません。$V$ を 2 倍にすると $Q$ も 2 倍になり、割り算の答えが変わらないためです。

横軸に $V$、縦軸に $Q$ をとると、原点を通る直線になる。傾きがそのまま $C$ です。

容量はこの直線の傾きであって、ある 1 点の値ではありません。$V$ を測った点をどこにとっても、割り算の答えは同じ。

形で決まる部分

平行板コンデンサーの容量は、極板の面積 $S$、間隔 $d$、あいだを満たす物質の 3 つで決まります。

$$C=\epsilon \frac{S}{d}$$

$\epsilon$ は誘電率です。真空では ${\epsilon }_0=8.85\times 10^{-12}F/m$ で、あいだに物質を入れると $\epsilon ={\epsilon }_r{\epsilon }_0$ となり、比誘電率 ${\epsilon }_r$ の分だけ増える。

面積を広げると、同じ電圧でも多くの電荷が乗ります。間隔を詰めると、同じ電荷でも電圧が下がる。だから $S$ が分子、$d$ が分母にきます。

極板のあいだの電場

極板間の電場は一様だから、電圧と間隔だけで書けます。

$$E=\frac{V}{d}$$

電場の単位が $V/m$ になるのは、この関係がそのまま単位に出ているためです。

面電荷密度 $\sigma =Q/S$ からも書けます。1 枚の極板がつくる電場は板の両側へ $\sigma /(2{\epsilon }_0)$ ずつ出ていき、2 枚を向かい合わせると内側で同じ向きに重なる。

$$E=\frac{\sigma }{{\epsilon }_0}=\frac{Q}{{\epsilon }_{0}S}$$

外側では 2 枚の寄与が逆を向き、打ち消し合って $0$ に近づきます。

この $E$ と $V=Ed$ を組み合わせると $V=Qd/({\epsilon }_{0}S)$ になります。$C=Q/V$ に入れれば $C={\epsilon }_{0}S/d$ で、形の式は電場から 3 行でたどれる。

エネルギーに 1/2 がつく理由

電荷を運ぶには仕事がいります。ただし 1 回ぶんの仕事は、運ぶたびに増えていく。

まだ何もたまっていない極板へ最初の電荷を運ぶとき、極板間の電圧は $0$ です。仕事はいりません。最後の電荷を運ぶときには電圧が $V$ まで上がっており、$V$ ぶんの仕事がいる。

平均をとると $V/2$ になります。$Q$-$V$ グラフでいえば、直線の下にできる直角三角形の面積です。

書き方は 3 つあります。どれも同じ量で、$Q=CV$ を入れて行き来するだけ。

$$U=\frac{1}{2}QV=\frac{1}{2}C{V}^2=\frac{1}{2}\frac{Q^2}{C}$$

例：容量から電気量を求める

$C=4.7\mu \mathrm{F}$ のコンデンサーに $12\mathrm{V}$ をかけます。

$$Q=CV=4.7\times 10^{-6}\times 12=5.6\times 10^{-5}\mathrm{C}$$

$56\mu \mathrm{C}$ です。電子 1 個の電荷が $1.6\times 10^{-19}\mathrm{C}$ だから、割ると $3.5\times 10^{14}$ 個ぶんの移動にあたる。

例：形から容量を計算する

面積 $1.00{\mathrm{m}}^2$、間隔 $1.00\mathrm{mm}$、あいだは真空とします。

$$C=8.85\times 10^{-12}\times \frac{1.00}{1.00\times 10^{-3}}=8.85\times 10^{-9}\mathrm{F}$$

畳半分ほどの極板を $1\mathrm{mm}$ まで近づけても $8.85\mathrm{nF}$ にとどまります。$1\mathrm{F}$ という単位がどれだけ大きい容量を指しているかが、この数値に出ている。

例：あいだに誘電体を入れる

同じ形のまま、比誘電率 ${\epsilon }_r=5.0$ の板をはさみます。

$$C=5.0\times 8.85\times 10^{-9}=4.4\times 10^{-8}\mathrm{F}$$

$44\mathrm{nF}$。形をいじらずに容量を 5 倍にできます。

例：エネルギーから容量を逆算する

$1.0\times 10^4\mathrm{V}$ で $400\mathrm{J}$ をたくわえるには、どれだけの容量がいるでしょうか。$U=\frac{1}{2}C{V}^2$ を $C$ について解きます。

$$C=\frac{2U}{V^2}=\frac{2\times 400}{(1.0\times 10^4{)}^2}=8.0\times 10^{-6}\mathrm{F}$$

$8.0\mu \mathrm{F}$ になりました。電圧が 2 乗で効くため、容量を増やすより電圧を上げるほうがエネルギーは伸びます。

電池をつないだままか、外したか

問題文には、必ず動かないものが書いてあります。そこを見つけると使う式が決まる。

電池をつないだままなら、極板間の電圧が電池の起電力に固定されます。外してあれば、極板の電荷は行き場を失って固定される。

同じ操作でも、エネルギーが増えるか減るかがここで分かれます。とり違えると答えの向きが逆になる。

例：電池を外して間隔を 2 倍にする

$Q$ が動けません。$C={\epsilon }_{0}S/d$ の $d$ が 2 倍だから $C$ は半分、$V=Q/C$ は 2 倍になります。

$$U=\frac{Q^2}{2C}$$

分母が半分になるため $U$ は 2 倍。増えたぶんは、引き合う極板を引き離すのに外から加えた仕事です。

例：電池をつないだまま間隔を 2 倍にする

今度は $V$ が動けません。$C$ が半分になるため $Q=CV$ も半分、$U=\frac{1}{2}C{V}^2$ も半分になります。

減った電荷は電池へ戻る。同じ「間隔を 2 倍」でも、電池を外したかどうかでエネルギーは 2 倍にも半分にもなります。

独立している式は $C=Q/V$、$C=\epsilon S/d$、$V=Ed$ の 3 つです。残りは、この 3 つに何を代入するかで決まります。