地球は秒速 29.8 km、およそ 30 倍遠い海王星は秒速 5.4 km で太陽のまわりを回っています[1]。太陽系の質量はほとんどが太陽に集まっているため、惑星を引く力は太陽の引力だけとみなせます。
半径 の円を速さ で回りつづける質量 の惑星には、中心へ向かう大きさ の力がいる。この力は、質量 の太陽が引く万有引力 です。
2 つの力を等しいとおいた の両辺から を約分して をかけると 、平方根をとると になる。
はどの惑星でも同じだから、 は に反比例します。半径が 30 倍なら速さは 倍になり、秒速 29.8 km を 5.5 で割った秒速 5.4 km は海王星の値と合う。
図の左は 3 つの惑星の円軌道、右は を半径ごとに描いたグラフで、点がそれぞれの惑星にあたります。
渦巻銀河の円盤では、星とガスが中心のまわりを同じ向きに回っています。斜めから見ると、円盤の片側はこちらへ近づき、反対側は遠ざかる。
近づく側の光は波長が短いほうへ、遠ざかる側の光は長いほうへずれます。ドップラー効果によるこのずれを 、もとの波長を とすると で、 は視線にそった速さ、 は光の速さです。
図の下の 2 本は円盤の左端と右端から届く光のスペクトルで、破線はもとの波長 の位置。
円盤は視線に対して傾いているため、測った速さを傾きの角度で直して回転の速さにします[2]。
可視光では若い星のまわりで光る水素ガスの 線を、電波では水素原子の出す波長 21 cm の電波を測ります。21 cm の電波で見える水素ガスは星の円盤の 2〜4 倍の半径まで広がっているため、星がほとんどない外側の速さもわかる[3]。
半径 の内側にある質量を とし、質量は中心のまわりに球の形で分布しているとみなす。すると を について解いて となり、 が一定なら は に比例して増えます。
天の川銀河の太陽の位置では、 は 8.1 kpc で m、 は秒速 229 km で m/s です。これらを万有引力定数 とあわせて に代入すると kg となり、太陽の質量 kg の 倍にあたる。
25 kpc での秒速 200 km を使うと、内側の質量は太陽の 倍になります[4]。天の川銀河の星を全部足した質量は太陽の 倍と見積もられていて、25 kpc の内側にはその約 4 倍の質量がある[5]。
1970 年、ルービンとフォードはアンドロメダ銀河の電離ガス 67 か所で 線のずれを測り、内側の質量が中心から 4〜14 kpc の範囲で半径にほぼ比例して増えることを見つけています[6]。
図の 2 本は内側の質量で、まっすぐ伸びる線が 、途中で増えなくなる線は光るものを足し合わせた質量。
が に比例するなら、厚さ の球殻 1 つにある質量は、どの半径でも で変わりません。
球殻の体積 は に比例して大きくなるので、密度は となり、中心からの距離の 2 乗に反比例する。
距離が 2 倍になると密度は 4 分の 1 に下がる。それでも質量は星の円盤よりはるかに外まで分布している。円盤を包むこのほぼ球状の質量はダークマターのハローと呼ばれ、光も電波も出さないから、重力を通してしか存在がわからない。
図は横から見た星の円盤と、それを包むハローで、塗りの濃さが密度を表します。
ハローまで含めた天の川銀河全体の質量は太陽の 倍と見積もられていて、星の質量の合計の約 24 倍になります[5]。