双曲線関数（sinh, cosh, tanh）と逆双曲線関数｜Python

双曲線関数は三角関数と似た性質を持ちながら、指数関数で定義される関数群だ。物理学では特殊相対性理論や懸垂線（カテナリー）の記述に登場し、機械学習では活性化関数として使われる。Python の math モジュールで計算できる。

双曲線関数の定義

双曲線正弦 $sinh$ 、双曲線余弦 $cosh$ 、双曲線正接 $tanh$ は次のように定義される。

$sinh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}, cosh (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}, tanh (x) = \frac{sinh ( x )}{cosh ( x )}$

import math

x = 1

print(math.sinh(x))  # 1.1752011936438014
print(math.cosh(x))  # 1.5430806348152437
print(math.tanh(x))  # 0.7615941559557649

# 定義式で確認
print((math.e**x - math.e**(-x)) / 2)  # 1.1752011936438014（sinh と一致）

三角関数との類似点と相違点

三角関数と双曲線関数は多くの公式が似ている。ただし、符号が異なる場合がある。

三角関数

$sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ （ピタゴラスの定理）。単位円 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上の点を表す。

双曲線関数

$cosh^{2} x - sinh^{2} x = 1$ 。双曲線 $x^{2} - y^{2} = 1$ 上の点を表す。

import math

x = 2

# 三角関数の恒等式
print(math.sin(x)**2 + math.cos(x)**2)  # 1.0

# 双曲線関数の恒等式
print(math.cosh(x)**2 - math.sinh(x)**2)  # 1.0000000000000002（≈ 1）

関数の形状

sinh は奇関数で原点を通り、 $x \to \infty$ で急激に増加する。cosh は偶関数で最小値 $1$ （ $x = 0$ ）を持つ。tanh は $- 1$ から $1$ の範囲に収まり、S 字型のカーブを描く。

import math

# sinh は奇関数
print(math.sinh(-2))  # -3.6268604078470186
print(math.sinh(2))   # 3.626860407847019

# cosh は偶関数、最小値 1
print(math.cosh(0))   # 1.0
print(math.cosh(-2))  # 3.7621956910836314
print(math.cosh(2))   # 3.7621956910836314

# tanh は -1 ～ 1 に収まる
print(math.tanh(-10))  # -0.9999999958776927
print(math.tanh(0))    # 0.0
print(math.tanh(10))   # 0.9999999958776927

逆双曲線関数

逆双曲線関数は asinh、acosh、atanh で計算する。

import math

# asinh: 定義域は全実数
print(math.asinh(0))   # 0.0
print(math.asinh(1))   # 0.8813735870195429

# acosh: 定義域は x ≥ 1
print(math.acosh(1))   # 0.0
print(math.acosh(2))   # 1.3169578969248166

# atanh: 定義域は -1 < x < 1
print(math.atanh(0))   # 0.0
print(math.atanh(0.5)) # 0.5493061443340548

acosh は $x \geq 1$ でのみ定義され、atanh は $- 1 < x < 1$ の開区間でのみ定義される。範囲外の値を渡すと ValueError になる。

import math

# acosh(0.5) は定義されない
# math.acosh(0.5)  # ValueError: math domain error

# atanh(1) も定義されない
# math.atanh(1)  # ValueError: math domain error

対数による表現

逆双曲線関数は対数で表現できる。

$asinh (x) = ln (x + x^{2} + 1)$

$acosh (x) = ln (x + x^{2} - 1) (x \geq 1)$

$atanh (x) = \frac{1}{2} ln (\frac{1 + x}{1 - x}) (∣ x ∣ < 1)$

import math

x = 2

# asinh を対数で計算
asinh_log = math.log(x + math.sqrt(x**2 + 1))
print(asinh_log)        # 1.4436354751788103
print(math.asinh(x))    # 1.4436354751788103（一致）

応用例：懸垂線（カテナリー）

両端を固定した鎖やケーブルが重力で垂れ下がる曲線は「懸垂線」と呼ばれ、 $cosh$ で表される。

$y = a cosh (\frac{x}{a})$

import math

def catenary(x, a=1):
    """懸垂線の方程式"""
    return a * math.cosh(x / a)

# x = 0 で最小値
print(catenary(0))    # 1.0
print(catenary(1))    # 1.5430806348152437
print(catenary(-1))   # 1.5430806348152437（対称）

吊り橋のケーブルや送電線の形状を計算するときに使われる。

応用例：機械学習の活性化関数

tanh はニューラルネットワークの活性化関数として使われる。出力が $- 1$ から $1$ に正規化され、勾配消失問題がシグモイド関数より軽減される。

import math

def tanh_activation(inputs):
    """tanh 活性化関数を適用"""
    return [math.tanh(x) for x in inputs]

inputs = [-2, -1, 0, 1, 2]
outputs = tanh_activation(inputs)
print(outputs)
# [-0.964..., -0.761..., 0.0, 0.761..., 0.964...]

現在では ReLU 系の活性化関数が主流だが、LSTM や GRU などの RNN では今でも tanh が使われている。

その他の双曲線関数

math モジュールには含まれていないが、双曲線余割 $csch$ 、双曲線正割 $sech$ 、双曲線余接 $coth$ も定義できる。

import math

def csch(x):
    return 1 / math.sinh(x)

def sech(x):
    return 1 / math.cosh(x)

def coth(x):
    return math.cosh(x) / math.sinh(x)

print(sech(0))  # 1.0（cosh(0) = 1 の逆数）
print(coth(1))  # 1.3130352854993312

これらは信号処理やソリトン理論など、特殊な分野で登場する。