ガンマ関数と対数ガンマ（math.gamma, math.lgamma）｜Python

ガンマ関数は階乗を実数・複素数に拡張した関数であり、確率論・統計学・物理学など幅広い分野で登場する。Python では math.gamma() と math.lgamma() で計算できる。

階乗とガンマ関数の関係

階乗 $n!$ は非負整数に対してのみ定義される。ガンマ関数 $Γ (x)$ はこれを実数全体（一部を除く）に拡張したもので、次の関係が成り立つ。

$Γ (n) = (n - 1)!$

つまり、 $Γ (5) = 4! = 24$ となる。引数が 1 ずれている点に注意。

import math

# Γ(5) = 4! = 24
print(math.gamma(5))  # 24.0

# Γ(1) = 0! = 1
print(math.gamma(1))  # 1.0

# Γ(6) = 5! = 120
print(math.gamma(6))  # 120.0

非整数への拡張

ガンマ関数の真価は、非整数でも計算できることにある。

import math

# Γ(1.5) ≈ 0.886（√π / 2）
print(math.gamma(1.5))  # 0.8862269254527579

# Γ(0.5) = √π ≈ 1.772
print(math.gamma(0.5))  # 1.7724538509055159
print(math.sqrt(math.pi))  # 1.7724538509055159（一致）

$Γ (1/2) = π$ という有名な結果がある。これはガウス積分から導かれる。

ガンマ関数の定義

ガンマ関数は積分で定義される。

$Γ (x) = \int_{0}^{\infty} t^{x - 1} e^{- t} d t$

この積分は $x > 0$ で収束する。また、次の漸化式が成り立つ。

$Γ (x + 1) = x \cdot Γ (x)$

これは階乗の性質 $(n + 1)! = (n + 1) \cdot n!$ の一般化だ。

import math

x = 3.5
print(math.gamma(x + 1))  # 11.631728396567448
print(x * math.gamma(x))  # 11.631728396567448（一致）

負の値と特異点

ガンマ関数は $0, - 1, - 2, \dots$ で発散する（特異点）。

import math

# 負の非整数では計算可能
print(math.gamma(-0.5))  # -3.5449077018110318

# 0 や負の整数では ValueError
# math.gamma(0)   # ValueError
# math.gamma(-1)  # ValueError

負の実数でも、整数でなければ計算できる。

対数ガンマ関数 lgamma

$Γ (x)$ は急激に大きくなるため、大きな引数ではオーバーフローを起こす。

import math

print(math.gamma(170))  # 7.257415615307994e+306
print(math.gamma(171))  # inf（オーバーフロー）

このような場合、対数ガンマ関数 $ln Γ (x)$ を使う。math.lgamma() は $ln ∣Γ (x) ∣$ を返す。

import math

# gamma(171) はオーバーフローするが lgamma なら計算可能
print(math.lgamma(171))  # 706.5730622457873
print(math.lgamma(1000))  # 5905.220423209181

# 元の値が必要なら指数を取る（オーバーフローしない範囲で）
print(math.exp(math.lgamma(10)))  # 362880.0（= 9!）

確率計算では対数を使うことが多いため、lgamma は非常に実用的だ。

math.gamma(x)

$Γ (x)$ を直接計算。小さな引数向き。大きな値ではオーバーフローする。

math.lgamma(x)

$ln ∣Γ (x) ∣$ を計算。大きな引数でもオーバーフローしない。確率計算に便利。

応用例：二項係数の計算

二項係数 $(k n)$ はガンマ関数で表現できる。

$(k n) = \frac{Γ ( n + 1 )}{Γ ( k + 1 ) \cdot Γ ( n - k + 1 )}$

対数を使えば、大きな数でもオーバーフローせずに計算できる。

import math

def log_binomial(n, k):
    """対数二項係数を計算"""
    return math.lgamma(n + 1) - math.lgamma(k + 1) - math.lgamma(n - k + 1)

def binomial(n, k):
    """二項係数を計算（大きな値にも対応）"""
    return round(math.exp(log_binomial(n, k)))

# 通常の計算
print(math.comb(100, 50))  # 100891344545564193334812497256

# lgamma を使った計算
print(binomial(100, 50))  # 100891344545564193334812497256

応用例：ベータ関数との関係

ベータ関数 $B (a, b)$ はガンマ関数で表現される。

$B (a, b) = \frac{Γ ( a ) \cdot Γ ( b )}{Γ ( a + b )}$

import math

def beta(a, b):
    """ベータ関数を計算"""
    return math.gamma(a) * math.gamma(b) / math.gamma(a + b)

print(beta(2, 3))  # 0.08333333333333333（= 1/12）
print(beta(0.5, 0.5))  # 3.141592653589793（= π）

$B (1/2, 1/2) = π$ という美しい結果も確認できる。ガンマ関数は数学の様々な場所に顔を出す、重要な特殊関数である。