ベルヌーイの定理 — エネルギー保存則と流速・圧力の関係

飛行機が空を飛べるのはなぜか。霧吹きはどうして液体を吸い上げるのか。こうした現象の背後には「流速が増すと圧力が下がる」という、直感に反するようで明快な法則がある。ベルヌーイの定理は、流体のエネルギー保存則を一本の式にまとめたものだ。

ベルヌーイの定理の式

非圧縮性の理想流体が定常的に流れているとき、流線に沿って次の関係が成り立つ。

$$p+\frac{1}{2}\rho v^2+\rho gh=\text{const.}$$

ここで $p$ は圧力、$\rho$ は密度、$v$ は流速、$g$ は重力加速度、$h$ は基準面からの高さだ。この式は流線上のどの 2 点をとっても成立する。

3 つの項の和が流線に沿って一定に保たれるという主張は、力学的エネルギー保存則そのものだ。

オイラーの運動方程式からの導出

ベルヌーイの定理は天から降ってきた公式ではなく、オイラーの運動方程式を流線に沿って積分すると自然に導かれる。重力のみを外力とする非圧縮性流体の定常流を考えよう。オイラーの運動方程式の流線方向成分は、

$$\rho v\frac{dv}{ds}=-\frac{dp}{ds}-\rho g\frac{dh}{ds}$$

と書ける。ここで $s$ は流線に沿った座標だ。両辺を $ds$ で積分すると、

$$\frac{1}{2}\rho v^2+p+\rho gh=\text{const.}$$

が得られる。ベルヌーイの定理はオイラーの運動方程式の積分形にほかならない。

流速と圧力のトレードオフ

水平な流れ（$h$ が一定）に限定すると、ベルヌーイの定理は次のように簡潔になる。

$$p+\frac{1}{2}\rho v^2=\text{const.}$$

この式が示しているのは、流速 $v$ が増加すると圧力 $p$ が減少するという関係だ。直感的には「流体がそこを速く通り抜けるために、周囲を押す余裕がなくなる」と理解できる。

この流速と圧力のトレードオフこそが、ベルヌーイの定理から導かれる最も重要な帰結だ。

身近な応用例

ベルヌーイの定理は日常のさまざまな現象を説明する。

パイプの途中を細くしたベンチュリ管では、細い部分で流速が増し圧力が低下する。この圧力差を利用して流量を測定するのがベンチュリ流量計だ。霧吹きも同じ原理を使っている。空気が狭い管を高速で通過すると、その周囲の圧力が下がり、容器内の液体が吸い上げられて微細な霧になる。

ピトー管は航空機の対気速度を測定する装置で、流れに正対する開口部での停滞圧（全圧）と周囲の静圧の差から流速を算出する。ベルヌーイの定理を直接的に応用した計測器だ。

適用条件と注意点

ベルヌーイの定理が成立するには、いくつかの前提条件がある。

特に最後の条件は見落とされやすい。ベルヌーイの定理は「同じ流線上の異なる 2 点」について成り立つ式であり、異なる流線間では一般に定数の値が異なる。ただし渦なし流（非回転流）の場合は、すべての流線で定数が共通になるため、流れ場全体に適用できる。

揚力との関係

翼の上面は下面より経路が長く、空気が速く流れるため圧力が下がり、これが揚力を生む——という説明がよくなされる。しかしこの「等時間通過説」は誤りとして知られている。実際には、翼の上面を通る空気は下面を通る空気より先に後縁に到達する。

揚力の本質はむしろ翼の迎角と循環（翼周りの流れの回転成分）にある。ベルヌーイの定理は「流速差があれば圧力差が生じる」ことを正しく述べるが、「なぜ流速差が生じるか」を説明するものではない。揚力の完全な理解には、クッタ条件や循環理論まで踏み込む必要がある。

エネルギー保存の普遍性

ベルヌーイの定理は、見た目こそ流体力学特有の式だが、その本質は力学的エネルギー保存則だ。質点力学での運動エネルギーと位置エネルギーの和が保存されるのと同じ構造が、流体の圧力・流速・高さの関係として現れている。エネルギー保存という物理学の根幹原理が、流体の世界でどのような姿をとるかを示した定理として、その重要性は揺るがない。