体 k 上の代数 A が有限生成であるとは、有限個の元 a_1, \ldots, a_n \in A があって、A のどの元もそれらの多項式で書けることをいい、A = k[a_1, \ldots, a_n] と書く。a_i を生成元と呼ぶ。使ってよいのは足し算、引き算、掛け算だけで、割り算は使わない。
この定義は全射としても読める。x_i \mapsto a_i と送ると、n 変数の多項式環からの全射 k[x_1, \ldots, x_n] \twoheadrightarrow A ができ、その核を I とすると A \cong k[x_1, \ldots, x_n]/I となる。有限生成な k 代数はどれもこの形をしている。
生成元は 1 通りには決まらず、その個数も変わりうる。図では、全次数が d 以下の単項式がどれも 2 つの生成元 x と y の積になっていて、d が大きくなると単項式が指数の平面の全体を埋めていく。
k 代数として有限生成であることと、k 加群として有限であること（k 上有限次元であること）は、別の条件である。環 k[x] はただ 1 つの元 x で生成されるが、1, x, x^2, \ldots が 1 次独立なので、k 上のベクトル空間としては無限次元である。
強いのは有限のほうで、k 上有限次元の k 代数は必ず有限生成である。逆は成り立たず、k[x] がその反例である。一方 k[x]/(x^2 - 1) は k 上 2 次元で x で生成されるので、両方をみたす。
図では 3 つの範囲を入れ子の枠で描く。外側がすべての k 代数、中が有限生成なもの、内側が有限次元なもので、それぞれの枠にはその枠だけに入る例を置く。代数幾何学で座標環として使うのは中の枠で、外側の枠のものも完備化や関数体として使われる。
多項式環 k[x_1, \ldots, x_n] は定義そのもので、n 個の変数が生成元である。放物線の座標環 k[x, y]/(y - x^2) \cong k[t] は 2 つの元で生成できるが、t だけで足りる。
双曲線の座標環は k[x, y]/(xy - 1) \cong k[t, t^{-1}] である。こちらは t だけでは足りない。t^{-1} を t から作れないからで、生成元は t と t^{-1} になる。同じように、1 つの元での局所化は k[x]_f = k[x, 1/f] で、x と 1/f で生成される。
この 2 つの例は、許す分母がちょうど 1 つである。その分母を新しい生成元として足せば、多項式で書ける範囲にとどまる。分母を制限なく許すと、この方法は使えなくなる。
有理関数体 k(x) は、k 代数として有限生成でない [1]。k(x) = k[f_1/g_1, \ldots, f_n/g_n] と仮定し、g = g_1 \cdots g_n とおく。生成元の多項式はどれも g の冪を分母に持つので、k(x) のどの元も h/g^m の形になるはずである。
k[x] には既約多項式が無限個あるので、g を割り切らないもの p を 1 つ選べる。1/p = h/g^m とすると g^m = ph となる。p は既約なので素元であり、g^m を割り切るから g を割り切る。これは矛盾である。
この議論は k が有限体でも通る。使うのは k[x] に既約多項式が無限個あることだけだからである。図で最初に並ぶ点は g の既約因子で、分母に使える。そのあとに限りなく続くほかの点は、どれも使えない。
有限生成な代数の部分環は、有限生成とは限らない [1]。k[x, y] の中で、y 軸の上で定数になる多項式、つまり f(0, y) が y によらないものを集める。これは環 A = k[x, xy, xy^2, xy^3, \ldots] になる。
有限個の生成元で足りたとし、それらの x について 1 次の部分の y の次数の上限を N とする。生成元を掛けると x の次数が上がるので、どの積の x について 1 次の部分も、生成元のその部分の 1 次結合になり、y の次数は N 以下のままである。すると xy^{N+1} は A に入るのに作れない。
数えることでも別の例が得られる。k = \mathbb{Q} のとき、有限生成な代数は多項式環の商なので可算である。一方 \mathbb{Q}[[t]] は係数の列の全体に対応し、非可算である。したがって形式的冪級数環 k[[t]] は有限生成でない。
A = k[a_1, \ldots, a_n] とし、I をイデアルとする。A/I は像 \bar{a}_1, \ldots, \bar{a}_n で生成されるので、有限生成である。1 つの元 f での局所化 A_f は k[a_1, \ldots, a_n, 1/f] で、生成元が 1 つ増えるだけである。
素イデアルでの局所化は事情が違う。A_{\mathfrak{p}} は \mathfrak{p} の外のどの元も分母に許し、一般には有限生成でない。k[x]_{(x)} では a \neq 0 のどの x - a も分母に現れてよく、有理関数体のときの議論がもう一度通る。
体の拡大では、同じ言葉を別の意味で使う。K/k が体の拡大として有限生成であるとは、分数を許して K = k(\alpha_1, \ldots, \alpha_n) と書けることである。k(x) は体としては x だけで有限生成だが、k 代数としては有限生成でない。違いは括弧にあり、k[\ldots] と k(\ldots) を区別する。
ヒルベルトの基底定理により、k がネーター環なら k[x_1, \ldots, x_n] もネーター環であり、ネーター環の商もネーター環である。よって有限生成な k 代数はどれもネーター環である。どのイデアルも有限個の元で生成され、どの図形も有限個の方程式で切り出される。
極小素イデアルも有限個しかないので、図形の既約成分は有限個である。逆は成り立たず、k[[t]] はネーター環だが有限生成でない。
クルル次元も有限である。ネーターの正規化定理 [3] により、代数的に独立な y_1, \ldots, y_d \in A があって A は k[y_1, \ldots, y_d] 上有限になり、この d がちょうど \dim A である。整域なら次元は分数体の超越次数に等しく [1]、どの素イデアル \mathfrak{p} についても \dim A/\mathfrak{p} + \operatorname{ht} \mathfrak{p} = \dim A が成り立つ [4]。
体 K が体 k 上の代数として有限生成なら、K は k の有限次拡大である [2]。これがザリスキの補題で、k には何も仮定しない。k(x) が有限生成でないことはその特別な場合で、k(x) は k 上有限でないので、有限生成にはなれない。
k が非可算なら、次元を数えて示せる [1]。有限生成な L = k[e_1, \ldots, e_n] は生成元の単項式で張られ、単項式は可算個なので、L の k 上の次元は可算である。一方、体 k(T) の次元は非可算である。\lambda \in k を動かした関数 \dfrac{1}{T - \lambda} が 1 次独立だからである。
体 L が k 上超越的な元 t を含むなら、T \mapsto t で k(T) が L に埋め込まれ、L の次元は非可算になる。よって L のどの元も k 上代数的であり、有限個の代数的な元で生成される環は k 上有限である。\mathbb{C} 上ならこれで示せたことになり、一般の体には別の証明がいる [2]。
A を k 上有限生成とし、\mathfrak{m} を極大イデアルとする。A/\mathfrak{m} は k 上有限生成な体なので、ザリスキの補題により k の有限次拡大である。k が代数閉体なら有限次拡大は k 自身しかないので、A/\mathfrak{m} = k となる。
A = k[x_1, \ldots, x_n] のとき、各 x_i の像はある a_i \in k なので、どの x_i - a_i も \mathfrak{m} に入り、(x_1 - a_1, \ldots, x_n - a_n) \subseteq \mathfrak{m} となる。左辺はすでに極大なので、両者は等しい [2]。極大イデアルを点と呼んでよいのはこのためである。
代数閉体でなければ、これは成り立たない。\mathbb{R}[x] ではイデアル (x^2 + 1) は極大だが、剰余体は \mathbb{C} で、どの実数の点にも対応しない [2]。x^2 + 1 のグラフは軸と交わらない。
生成元の個数は環によって違う。k[t] は 1 つでよい。k[t^2, t^3] は 2 ついる。t^2 だけでは t^3 を作れず、t^3 だけでは t^2 を作れないからである。k[t, t^{-1}] は 2 つ、k[x_1, \ldots, x_n] は n 個いり、k(x) はどんな有限個でも足りない。
環 k[t^2, t^3] は k[t] から t を除いた部分環で、尖点の座標環である。生成元の最小の個数は、その図形を含む最小のアフィン空間の次元に等しい。尖点は平面には入るが、直線には入らない。
環と図形はこのように対応する。k 上有限生成な整域は多項式環の商であり、そのイデアルの零点が図形を与える。逆に、既約なアフィン多様体の座標環は有限生成な整域である。有限生成でない環には、対応する古典的な図形がない。