R を環とし、X = \operatorname{Spec} R にザリスキ位相を入れる。基本開集合は D(f) = \{\mathfrak{p} : f \notin \mathfrak{p}\} である。構造層 \mathcal{O}_X は D(f) に局所化 R_f、つまり分数 a/f^n の環を割り当てる。D(f) \subset D(g) なら f のある冪が (g) に入るので、g は R_f で可逆になり、制限は写像 R_g \to R_f である。特に R_f は開集合 D(f) だけで決まり、たとえば D(x) = D(x^2) で R_x = R_{x^2} である [1]。
層の条件は、代数的な 1 の分割によって成り立つ。D(f_1), \ldots, D(f_r) が X を覆うなら、すべての f_i を含む素イデアルはないので、f_i は環全体を生成し、f_1^m, \ldots, f_r^m も環全体を生成する。よって 1 = h_1 f_1^m + \cdots + h_r f_r^m と書ける。D(f_i) の上の分数 a_i/f_i^m が重なりで一致すれば、それらは R の元 h_1 a_1 + \cdots + h_r a_r に貼り合わさる。特に \mathcal{O}_X(X) = R である。
R = \mathbb{R}[x] では D(x) と D(x - 1) が直線を覆い、1 = x - (x - 1) と 1 = x^2(3 - 2x) + (x - 1)^2(2x + 1) が、m = 1 と m = 2 の 1 の分割である。図では、x^m を含む項が 0 でちょうど m 回消え、D(x) の切断の分母 x^m を打ち消す。もう 1 つの項は、1 で同じことをする。
点 \mathfrak{p} での \mathcal{O}_X の茎は局所環 R_{\mathfrak{p}} なので、X は局所環付き空間、つまり茎が局所環である環の層を持つ空間になる。元 f \in R は \mathfrak{p} で剰余体 R_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{p}R_{\mathfrak{p}} の値をとり、その値が 0 になるのはちょうど f \in \mathfrak{p} のときである。組 (\operatorname{Spec} R, \mathcal{O}_X) を R のアフィンスキームという。
スキームとは局所環付き空間 (X, \mathcal{O}_X) で、どの点にも開近傍 U があって、U と \mathcal{O}_X の制限の組がアフィンスキームに同型になるものである [2]。多様体を座標近傍から貼り合わせるのと同じように、スキームはアフィンスキームを同型な開集合に沿って貼り合わせて作る。
体 k 上の射影直線 \mathbb{P}^1 は、\operatorname{Spec} k[t] と \operatorname{Spec} k[s] から貼り合わせる。1 本目の開集合 D(t) = \operatorname{Spec} k[t, 1/t] と、2 本目の開集合 D(s) を、s = 1/t で同一視する [1]。どちらの直線にも、\mathbb{P}^1 の点が 1 つずつ欠けている。2 本目の点 s = 0 が 1 本目の無限遠点で、点 t = 0 が 2 本目の無限遠点である。
図では、2 本の実数の直線が曲がって 1 つの円になる。これが \mathbb{P}^1 の実数の点である。目盛 t = 2 は s = 1/2 に重なり、t = 1 と s = 1 が出会い、1 本目の上端の欠けは s = 0 で埋まる。s = 1/t の代わりに s = t で貼り合わせてもスキームができるが、それは原点が 2 つある直線で、射影直線ではない。
\mathbb{P}^1 上の大域的な関数は、k[t, 1/t] の中で f(t) = g(1/t) となる組 f(t) \in k[t]、g(s) \in k[s] である。左辺は t の 0 以上の冪だけを、右辺は 0 以下の冪だけを含むので、両辺は同じ定数であり、\mathcal{O}(\mathbb{P}^1) = k となる。\mathbb{P}^1 がアフィンなら、大域的な関数の環 k のスペクトル、つまり 1 点になるはずなので、\mathbb{P}^1 はアフィンでない。
アフィンスキームの開集合も、アフィンとは限らない。U = D(x) \cup D(y) を、平面 \operatorname{Spec} k[x, y] から原点を抜いたものとする。U 上の関数は、D(x) の上で a/x^m、D(y) の上で b/y^n で、a y^n = b x^m をみたす。k[x, y] の一意分解から x^m \mid a となるので、この関数は多項式であり、\mathcal{O}(U) = k[x, y] と、平面全体と同じ環になる [1]。
図では、U 上のどの関数のグラフも、抜いた原点の上を途切れずに通る。U がアフィンなら \operatorname{Spec} k[x, y] になるはずだが、それは原点を含む。別の見方もある。x と y は U に共通の零点を持たないが、どの ax + by も原点で 0 になるので、\mathcal{O}(U) の中で ax + by = 1 は解を持たない。アフィンスキームでは、このようなことは起きない。
スキームは冪零な関数も持てる。\operatorname{Spec} k[x]/(x^2) は \operatorname{Spec} k と同じく 1 点からなるが、その上の関数 x は、点での値が 0 なのに 0 ではない。冪零元で割ると被約なスキームになり、点は同じまま、関数は点での値で決まるものだけが残る。