正則局所環とは、極大イデアルを生成するのに、最低限必要な個数の元でちょうど足りる環である。数えるものは 2 つあり、1 つは素イデアルの鎖の長さであるクルル次元、もう 1 つは極大イデアルの生成元の最小の個数である。この 2 つが一致するとき、環は正則である [1]。
(R, \mathfrak{m}) をネーター局所環とし、剰余体を k = R/\mathfrak{m} とする。\dim R = \dim_k \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 のとき、R は正則であるという。左辺はクルル次元で、右辺はザリスキ余接空間の次元である。その双対のザリスキ接空間が、幾何学の接空間にあたる。
右辺は埋め込み次元とも呼ばれ、環をできるだけ少ない変数で書いたときの変数の個数である。図では、いくつかの環について 2 つの数を並べる。2 つの数がずれる向きは 1 つしかない。生成元の個数はいつも次元以上で、等しいときがいちばんよい場合である。
右辺が生成元の最小の個数になるのは、中山の補題による。x_1, \ldots, x_n \in \mathfrak{m} の像が \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 を k 上張るとすると、\mathfrak{m} = (x_1, \ldots, x_n) + \mathfrak{m}^2 である。M = \mathfrak{m}/(x_1, \ldots, x_n) とおくと、\mathfrak{m} M = M となる。
M は有限生成なので、中山の補題により M = 0 となり、x_1, \ldots, x_n は \mathfrak{m} を生成する。逆に、\mathfrak{m} の生成元はいつも \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 を張る。したがって生成元の最小の個数は \dim_k \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 である。
ここで \mathfrak{m}^2 は、\mathfrak{m} の 2 つの元の積の有限和からなるイデアルで、平方の集まりではない。イデアルの生成の問題が、ベクトル空間の次元という線形代数の問題に変わったことが、この定義の要点である。図では、\mathfrak{m}^2 = \mathfrak{m} \cdot \mathfrak{m} なので、等式 \mathfrak{m} = (x_1, x_2) + \mathfrak{m}^2 から \mathfrak{m} = (x_1, x_2) + \mathfrak{m}^3、さらに (x_1, x_2) + \mathfrak{m}^4 が出る。x_1 と x_2 で覆われる部分が冪 1 つずつ広がり、残りが 0 になることは中山の補題が一度に示す。
2 つの数がずれる向きが 1 つしかないことは、1 つの定理で示せる。クルルの標高定理により、n 個の元で生成されるイデアルの上の極小素イデアルは、高さが n 以下である [2]。
\mathfrak{m} が n 個の元で生成されるなら、\mathfrak{m} 自身の高さは n 以下である。局所環では \dim R = \operatorname{ht} \mathfrak{m} なので、\dim R \leq \dim_k \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 となる。
正則とは、この不等式が等式になること、つまり余分な生成元が 1 つもないことである。図では、平面、点を通る曲線、点そのものが、k[x, y]_{(x, y)} の長さ 2 の鎖 (0) \subsetneq \mathfrak{p}_1 \subsetneq \mathfrak{m} を与え、2 つの生成元 x と y でちょうど足りる。
体 k では \mathfrak{m} = (0) である。素イデアルの鎖は 1 項しかないので \dim k = 0 で、\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 = 0 から右辺も 0 になり、体は正則局所環である。次元 0 の正則局所環は体に限る。\mathfrak{m} = \mathfrak{m}^2 から、中山の補題で \mathfrak{m} = 0 となるからである。
次に、体でないネーター局所整域で、極大イデアルが単項イデアル \mathfrak{m} = (\pi) であるものを考える。生成元は 1 つで足りるので埋め込み次元は 1 で、素イデアルは (0) \subsetneq (\pi) だけなので次元も 1 である。
したがって離散付値環は正則であり、逆に次元 1 の正則局所環は極大イデアルが単項で、離散付値環である [4]。代表的な例は k[[t]]、\mathbb{Z}_{(p)}、\mathbb{Z}_p である [1]。図では \pi = 3 とした \mathbb{Z}_{(3)} で、各整数に付値の高さの縦線を立てる。付値 v の元は (\pi^v) の高さには届くが、(\pi^{v+1}) の高さには届かない。
R = k[x_1, \ldots, x_n]_{(x_1, \ldots, x_n)} とする。極大イデアルは (x_1, \ldots, x_n) で、生成元は n 個である。
\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 の基底は x_1, \ldots, x_n の像で与えられる。2 次以上の単項式はどれも \mathfrak{m}^2 に入り、1 次の項だけが残るからである。多項式環のクルル次元は変数の個数に等しいので、次元も n である [3]。
両辺とも n なので、この環は正則である。アフィン空間のどの点も滑らかであることを、代数で述べたものである。図では \mathfrak{m}^2 を法として 2 次以上の項が消えていき、x と y の 2 つの係数だけが残る。
環 k[[x_1, \ldots, x_n]] も次元 n の正則局所環で、極大イデアルは変数で生成される。2 次以上の項がやはり \mathfrak{m}^2 に入るので、計算は多項式のときと同じである。
この環は正則局所環の標準形である。体を含む完備なネーター正則局所環は、剰余体上の形式的冪級数環に同型である [1]。よって体を含むネーター局所環が正則であるとは、完備化すると \hat{R} \cong k[[x_1, \ldots, x_n]] となり、変数のほかに何も残らないことである。
図の円 x^2 + y^2 = 2y は、1 次の項 -2y を持って原点を通る。完備化では y は x の冪級数 y = x^2/2 + x^4/8 + x^6/16 + \cdots になり、打ち切った式は原点の近くで円にますます近く沿っていく。完備局所環は k[[x]] である。
正則かどうかは図で見ることができる。図では、点が尖点の上のいくつかの場所で止まり、そのまわりの短い線がすべての向きを示し、方程式を 1 次まで 0 に保つ向きに色をつける。滑らかな点では接線に沿う 2 本だけに色がつき、接空間は 1 本の直線で、曲線と同じ次元 1 である。
尖った先では、すべての向きに色がつく。接空間は平面全体に広がり、次元 1 の曲線には大きすぎるので、この点は正則でない。点が先に着いた瞬間、接空間は直線から平面全体へ変わる。
余接空間 \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 はこの接空間の双対である。定義で 2 つの次元を比べることは、図で 2 つの大きさを比べることにあたる。
点が正則かどうかは、定義式が 1 次の項を持つかどうかで決まる。t \neq 0 のとき、方程式 y^2 = x^3 + t\, x は 1 次の項 tx を持ち、f = y^2 - x^3 - tx とすると f_x(0, 0) = -t \neq 0 なので、原点は滑らかである。
1 次の項が消えるのは t = 0 の瞬間だけである。そのとき \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 の中で x と y を結ぶ関係がなくなり、埋め込み次元は 2 に上がる。
t \neq 0 なら、方程式から tx = y^2 - x^3 \in \mathfrak{m}^2 となるので、x は \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 の中で消え、y だけで張られる。方程式のうち \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 に残るのは 1 次の項だけであり、関係式がそこまで届くかどうかが正則性を決める。
尖点 k[x, y]_{(x, y)}/(y^2 - x^3) は次元 1 である。方程式は 2 次以上の項しか持たないので、\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 は x と y の像で張られて次元 2 になり、差は 1 である。結節点 k[x, y]_{(x, y)}/(y^2 - x^2 - x^3) も次元 1、埋め込み次元 2 なので、この数だけでは 2 つを区別できない。
錐の頂点 k[x, y, z]_{(x, y, z)}/(xy - z^2) は次元 2 である。方程式は 2 次なので、\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 は x、y、z で張られて次元 3 になり、差は 1 である。この環は整閉整域だが、それでも正則でない。
k[x]/(x^2) では素イデアルは (x) だけなので次元は 0 だが、\mathfrak{m} = (x) と \mathfrak{m}^2 = 0 から埋め込み次元は 1 である [1]。この環は整域ですらないが、正則局所環はいつも整域である。図では直線 y = c が放物線 y = x^2 と 2 点で交わり、c が 0 へ近づくと 2 点は向きを残して 1 点に合わさる。その環が k[x]/(x^2) である。差の大きさは特異点の程度と関係するが、特異点の種類までは決めない。尖点と結節点は同じ数を与える。
R が次元 n の正則局所環のとき、\mathfrak{m} を生成する n 個の元 x_1, \ldots, x_n を正則パラメータ系という。これが局所座標であり、n 次元の空間を n 個の座標で表すことを、環の性質として述べたものである。
見つけるには、\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 の基底を選び、中山の補題でそれを \mathfrak{m} の生成元に持ち上げ、その個数が次元に等しいことを確かめる。R が正則でなければ、どう n 個の元を選んでも足りない。その点では座標がとれない、というのはこのことである。
持ち上げは \mathfrak{m}^2 の元の違いを除いてしか決まらず、この自由度が座標の取り替えにあたる。図では座標 x を x' = x + a y^2 に取り替える。曲線 x' = c は曲がるが、原点を通るものは原点でもとの直線 x = 0 に接したままである。x と x' は \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 で同じ像を持つからである。
正則性からは強い帰結が出る。最初のものは、R が整域であることである。随伴次数環 \operatorname{gr}_{\mathfrak{m}}(R) = \bigoplus_{i \geq 0} \mathfrak{m}^i/\mathfrak{m}^{i+1} を作る。R が次元 n の正則局所環なら、これは k 上の n 変数の多項式環に同型で、整域である。
0 でない a と b を、a \in \mathfrak{m}^i \setminus \mathfrak{m}^{i+1}、b \in \mathfrak{m}^j \setminus \mathfrak{m}^{j+1} となるようにとる。次数環での像の積は 0 でないので、ab \notin \mathfrak{m}^{i+j+1} であり、特に ab \neq 0 である。
次数 i と j があるのは、クルルの交叉定理 \bigcap_n \mathfrak{m}^n = 0 による。ネーターという仮定はここで使う。図では、原点のまわりの半径 \varepsilon の小さな円の上での a = x + y^2、b = y^2 + x^3、ab の大きさを、両対数の目盛で \varepsilon に対して描く。傾きは最低次の部分 x、y^2、xy^2 の次数である 1、2、3 で、ab の傾きは和 1 + 2 である。
さらに強い定理として、正則局所環はどれも一意分解整域である [1]。これはアウスランダーとブックスバウムの定理で、ホモロジー代数を使って示される。素因数分解の一意性という古典的な性質が、2 つの次元の一致から出てくる。逆は成り立たず、正則でない一意分解整域もある。
正則局所環を素イデアルで局所化したものは、また正則局所環である [1]。これは素朴な定義からは出てこない。素イデアルで局所化すると次元も埋め込み次元も変わり、それらが等しいままである理由は、定義からは見えない。
これを示すのに使うのは、セールのホモロジー的な特徴づけである。ネーター局所環が正則であることは、大域次元が有限であることと同値である [1]。大域次元が有限であることは局所化で保たれるので、正則性も保たれる。図では点が \mathfrak{m}、それを通る曲線が素イデアル \mathfrak{p} で、点での局所環が正則なので、曲線に沿った局所環も正則である。
ここまでの言い換えは 4 行にまとまる。定義は、次元が埋め込み次元に等しいこと。接空間では \dim T_P = \dim R。ホモロジーでは \operatorname{gldim} R < \infty。完備化では、R が体を含むとき \hat{R} \cong k[[x_1, \ldots, x_n]] である。
はじめの 2 つは、同じことを幾何と代数で述べている。あとの 2 つはほかの理論を使い、その代わり、局所化で保たれることのような強い結論が得られる。
どの形でも、取り違えてはいけないのは数えているものである。定義の左辺は鎖の長さで、右辺はベクトル空間の次元である。
幾何の言葉である滑らかと、正則という言葉は、いつも同じ意味とは限らない。基礎体がかかわるからである。完全体の上では、有限型の代数の点が滑らかであることと、その局所環が正則であることは同値である [5]。代数閉体は完全体なので、これが標準的な場合である。
完全体でない体の上では、2 つは一致しなくなる。正則だが滑らかでない多様体があり、正標数に例がある。正則性は環そのものの性質で、滑らかさは基礎体に対する性質である。
滑らかさは、図のように微分で調べる。結節点に沿った f = y^2 - x^2 - x^3 の勾配が消えるのは原点だけで、そこが局所環が正則でない唯一の点である。完全体でない体の上で標数 p を扱うときは、2 つの言葉のどちらを使っているかを確かめる。代数閉体の上では違いは現れない。