特異点では、局所環の極大イデアルが大きすぎる。曲線の次元は 1 なのに、特異点ではその極大イデアルに 2 つの生成元がいる。生成元の個数と次元のこの差が、特異であることの代数的な意味である。
以下では、結節点 y^2 = x^2(x+1) と尖点 y^2 = x^3 という 2 つの特異点の局所環を書き出す。整閉包を計算し、完備化を比べて、2 つの違いがどこで現れるかを見る。
まず比べる基準を決める。ネーター局所環 (R, \mathfrak{m}) は、次が成り立つとき正則である [1]。
\dim R = \dim_{R/\mathfrak{m}} \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2
右辺は極大イデアルの生成元の最小の個数で、埋め込み次元と呼ばれる。中山の補題により、\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 の基底を持ち上げると \mathfrak{m} の生成元になるからである。左辺はクルル次元で、曲線の点では 1、曲面の点では 2 である。
滑らかな点では両辺が一致する。曲線の滑らかな点での局所環は次元 1 の正則局所環、つまり離散付値環である。
差がつく向きは 1 つしかない。次の不等式がいつも成り立つ。
\dim R \leq \dim_{R/\mathfrak{m}} \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2
これはクルルの標高定理から従う。\mathfrak{m} が n 個の元で生成されるなら、その高さは n 以下である。よって特異点では埋め込み次元のほうが真に大きく、余分な生成元がいる。
幾何学的には、接空間が多様体より大きい。結節点では 2 本の接線 y = x と y = -x が平面全体を張るので、1 次元の曲線に 2 次元の接空間がある。滑らかな点では接線は 1 本で、接空間は曲線と同じ 1 次元である。
曲線 y^2 = x^2(x+1) の原点をとる。座標環と局所環は、\mathfrak{m} = (x, y) として A = k[x, y]/(y^2 - x^2 - x^3) と \mathcal{O} = A_{\mathfrak{m}} である。曲線は既約なので A は 1 次元の整域で、局所化しても次元は下がらない。
ここで \mathfrak{m}^2 = (x^2, xy, y^2) である。y^2 = x^2 + x^3 の両辺は \mathfrak{m}^2 に入り、1 次の項は現れないので、この方程式は x と y のあいだに 1 次の関係を与えない。
\dim_k \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 = 2
次元は 1 で埋め込み次元は 2 なので、この局所環は正則でない。特に \mathfrak{m} は単項イデアルでない。\mathfrak{m} = (f) なら f の像が \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 を張り、その次元は 1 以下になるからである。これは離散付値環でない 1 次元の局所整域である。
尖点 y^2 = x^3 でも同じ計算ができ、局所環は k[x, y]_{(x, y)}/(y^2 - x^3) である。y^2 は 2 次、x^3 は 3 次なので、方程式の両辺は \mathfrak{m}^2 に入る。図では原点の近くを少しずつ拡大していき、尖点は半直線 y = 0、x \geq 0 に沿って平たくなる。最低次の項 y^2 だけが残るのである。
ここでも 1 次の関係は現れないので、次元が 1 なのに埋め込み次元は 2 で、局所環は正則でない。
この計算では結節点と尖点を区別できない。どちらも次元 1、埋め込み次元 2 である。2 つを分けるには別の量がいる。
尖点の座標環を 1 つのパラメータで書き直す。x = t^2、y = t^3 とおくと y^2 = t^6 = x^3 で、この対応は同型である。
k[x, y]/(y^2 - x^3) \cong k[t^2, t^3] \subset k[t]
右辺は 1 次の項を持たない t の多項式からなり、冪 1, t^2, t^3, t^4, \ldots が基底になる。欠けているのは t だけで、この欠けた 1 次元が尖点の特異点にあたる。
t = t^3/t^2 なので、k[t^2, t^3] の分数体は k(t) である。元 t は k[t^2, t^3] に入らないが、その上で整である。t^2 \in k[t^2, t^3] なので、モニックな方程式 T^2 - t^2 = 0 をみたすからである。
よって分数体には環の外にある整な元があり、k[t^2, t^3] は整閉でない。
ここで 2 つの概念が結びつく。1 次元のネーター局所整域が整閉であることは、離散付値環であることと同値である [5]。よって代数閉体上の曲線の点では、滑らかであること、正則であること、整閉であることは同じであり、特異点とは局所環が整閉でない点のことである。
整閉でない環は、整閉包をとれば整閉になる。幾何学的には、これは正規化である。尖点の整閉包は k[t] で、単項イデアル整域なので整閉であり、k[t^2, t^3] 上の有限生成加群である。
結節点も同じように扱える。y = tx とおくと t^2 = x + 1 となり、次のパラメータ表示が得られる。
x = t^2 - 1, \quad y = t^3 - t
分数体の元 t = y/x は t^2 - x - 1 = 0 をみたすので整であり、整閉包はやはり k[t] である。どちらの特異な曲線も、正規化すると同じ滑らかな直線になる。
違いは、原点の上にある点の個数に現れる。正規化で原点へ送られる t の値を数える。
結節点では t = 1 と t = -1 がどちらも原点へ行くので、原点の上には 2 点ある。尖点では x = t^2 と y = t^3 が消えるのは t = 0 だけなので、原点の上には 1 点しかない。
点の個数は、整閉包の局所的な形に現れる。結節点の整閉包は原点の上に 2 つの極大イデアルを持ち、局所化して完備化すると、原点を通る枝 1 本ごとに 1 つずつ、2 つの離散付値環の積に分かれる。
尖点の整閉包は原点の上に極大イデアルを 1 つだけ持ち、完備化しても 1 つの離散付値環のままである。枝は 1 本しかない。
ここでの座標環のように、体上有限型の被約な環では、整閉包はもとの環上の有限加群なので、正規化は有限射である [4]。有限であるから原点の上の点は有限個で、数えることができる。
局所環そのものは、どちらの曲線も既約なので、どちらも整域である。局所環を見るだけでは、2 つにまだ違いはない。
完備化すると 2 つは分かれる。標数が 2 でなければ、1 + x は k[[x]] に平方根 u を持ち、結節点の方程式は因数分解される。
k[[x, y]]/(y^2 - x^2(1+x)) = k[[x, y]]/((y - xu)(y + xu))
よって結節点の完備局所環は整域でない。尖点では y^2 - x^3 は k[[x, y]] でも既約で、完備局所環は整域のままである。枝の本数は、局所環ではわからず、完備化するとわかる。
枝の本数だけでは足りない。2 つを 1 つの数で比べるために、整閉包との差を測る。特異点での局所環を \mathcal{O}、その整閉包を \widetilde{\mathcal{O}} として、次のようにおく。
\delta = \dim_k \widetilde{\mathcal{O}}/\mathcal{O}
尖点では \widetilde{\mathcal{O}} = k[[t]]、\mathcal{O} = k[[t^2, t^3]] で、商は t で張られるので \delta = 1 である。結節点も \delta = 1 で、種類は違うが \delta は同じである。y^2 = x^5 のような高次の尖点は k[[t^2, t^5]] を与え、t と t^3 が欠けるので \delta = 2 である。
この \delta は、種数がちょうどどれだけ下がるかを表す [3]。次数 d の平面曲線では、幾何種数は算術種数 (d-1)(d-2)/2 から特異点ごとの \delta の和を引いたものである。
図では、結節点と尖点が上から下へ 6 つの量を通り、値が同じところでは並び、違うところでは離れる。次元、埋め込み次元、整閉包では結節点と尖点を区別できない。原点の上の点と完備化は 2 つを分けるが、\delta はまた同じになる。
このように、同じ特異という言葉でも、次元、埋め込み次元、整閉包、完備化とどこまで調べるかによって、わかることが違う。
曲線では、特異であることと整閉でないことは同じだった。次元 2 からはそうではない。正則局所環はいつも整閉だが、逆は成り立たず、整閉なのに特異な点がある。
錐 xy = z^2 の原点がその例である。その環は整閉だが、埋め込み次元は 3、次元は 2 なので、正則でない。
理由は、正規化が余次元 1 の特異点しか取り除かないことにある。正規多様体は余次元 1 で正則だからである [2]。曲線ではどの特異点も余次元 1 なので、正規化だけで足りた。
高次元では、代わりにブローアップをくり返す。標数 0 の体の上では、特異点はいつも解消できる。広中平祐は 1964 年に、どの代数多様体 V にも、固有な双有理射 W \to V を持つ非特異な W があることを示した [2]。
正標数では、問題は次元 3 までは解決していて、次元 4 からは一般には未解決である。特異点の解消は局所環を正則局所環に変え、曲線の正規化はそのいちばん簡単な場合である。図は、1 回のブローアップで結節点の 2 本の枝が離れる様子を示す。
よくある誤りを挙げておく。自分自身と交わらない曲線でも、滑らかとは限らない。尖点がその例である。整域である局所環でも、正則とは限らない。これも尖点が例で、完備化しても整域のままである。そして、埋め込み次元が次元より小さくなることはない。
枝の本数と \delta は別の量である。次元 2 からは、整閉でも滑らかとは限らない。正規化は余次元 1 の特異点しか取り除かないからである。